Arkussinus, Arkuskosinus - Eigenschaften, Grafiken, Formeln. Arkussinus, Arkuskosinus - Eigenschaften, Graphen, Formeln Formeln mit inversen trigonometrischen Funktionen

Inverse trigonometrische Funktionen sind Arkussinus, Arkuskosinus, Arkustangens und Arkuskotangens.

Lassen Sie uns zuerst Definitionen geben.

Arkussinus Oder wir können sagen, dass dies ein solcher Winkel ist, der zu dem Segment gehört, dessen Sinus gleich der Zahl a ist.

Arkuskosinus Nummer a heißt eine solche Zahl

Arkustangens Nummer a heißt eine solche Zahl

Bogentangente Nummer a heißt eine solche Zahl

Lassen Sie uns ausführlich über diese vier neuen Funktionen für uns sprechen - inverse trigonometrische.

Denken Sie daran, wir haben uns bereits mit getroffen.

Beispielsweise ist die arithmetische Quadratwurzel von a eine nicht negative Zahl, deren Quadrat a ist.

Der Logarithmus der Zahl b zur Basis a ist eine Zahl c, so dass

Dabei

Wir verstehen, warum Mathematiker neue Funktionen „erfinden“ mussten. Zum Beispiel sind die Lösungen einer Gleichung und Wir könnten sie ohne das spezielle arithmetische Quadratwurzelsymbol nicht aufschreiben.

Das Konzept des Logarithmus hat sich als notwendig erwiesen, um beispielsweise Lösungen für eine solche Gleichung zu schreiben: Die Lösung dieser Gleichung ist eine irrationale Zahl, das ist der Exponent, auf den 2 erhoben werden muss, um 7 zu erhalten.

Dasselbe gilt für trigonometrische Gleichungen. Wir wollen zum Beispiel die Gleichung lösen

Es ist klar, dass seine Lösungen Punkten auf dem trigonometrischen Kreis entsprechen, dessen Ordinate gleich ist Und es ist klar, dass dies kein Tabellenwert des Sinus ist. Wie schreibe ich Lösungen auf?

Hier können wir nicht auf eine neue Funktion verzichten, die den Winkel bezeichnet, dessen Sinus gleich einer gegebenen Zahl a ist. Ja, jeder hat es schon erraten. Dies ist der Arkussinus.

Der Winkel, der zu dem Segment gehört, dessen Sinus gleich ist, ist der Arkussinus von einem Viertel. Und so ist die Reihe von Lösungen unserer Gleichung, die dem rechten Punkt auf dem trigonometrischen Kreis entspricht

Und die zweite Reihe von Lösungen unserer Gleichung ist

Mehr über das Lösen trigonometrischer Gleichungen -.

Es bleibt zu klären - warum wird in der Definition des Arkussinus angegeben, dass dies ein Winkel ist, der zur Strecke gehört?

Tatsache ist, dass es unendlich viele Winkel gibt, deren Sinus beispielsweise . Wir müssen einen von ihnen auswählen. Wir wählen diejenige, die auf dem Segment liegt.

Betrachten Sie den trigonometrischen Kreis. Sie werden sehen, dass auf dem Segment jede Ecke einem bestimmten Wert des Sinus entspricht, und zwar nur einem. Und umgekehrt entspricht jeder Wert des Sinus aus dem Segment einem einzelnen Wert des Winkels auf dem Segment. Das bedeutet, dass Sie auf dem Segment eine Funktion definieren können, die Werte von bis annimmt

Wiederholen wir die Definition noch einmal:

Der Arkussinus von a ist die Zahl , so dass

Bezeichnung: Der Definitionsbereich des Arkussinus ist ein Segment Der Wertebereich ist ein Segment.

Sie können sich an den Satz „Arxine wohnen rechts“ erinnern. Das vergessen wir nur nicht nur rechts, sondern auch auf dem Segment .

Wir sind bereit, die Funktion graphisch darzustellen

Wie üblich markieren wir die x-Werte auf der horizontalen Achse und die y-Werte auf der vertikalen Achse.

Da also x zwischen -1 und 1 liegt.

Daher ist der Definitionsbereich der Funktion y = arcsin x die Strecke

Wir sagten, dass y zum Segment gehört. Das bedeutet, dass der Wertebereich der Funktion y = arcsin x die Strecke ist.

Beachten Sie, dass der Graph der Funktion y=arcsinx vollständig in dem von Linien und begrenzten Bereich platziert ist

Beginnen wir wie immer beim Plotten einer unbekannten Funktion mit einer Tabelle.

Per Definition ist der Arkussinus von Null eine Zahl aus dem Segment, dessen Sinus Null ist. Was ist das für eine Nummer? - Es ist klar, dass dies Null ist.

Ebenso ist der Arkussinus von eins die Zahl aus dem Segment, dessen Sinus gleich eins ist. Offensichtlich dies

Wir fahren fort: - Dies ist eine Zahl aus dem Segment, dessen Sinus gleich ist. Ja diese

			0
			0

Wir bauen einen Funktionsgraphen

Funktionseigenschaften

1. Definitionsbereich

2. Wertebereich

3. , das heißt, diese Funktion ist ungerade. Sein Graph ist bezüglich des Ursprungs symmetrisch.

4. Die Funktion ist monoton steigend. Sein kleinster Wert, gleich - , wird bei erreicht und sein größter Wert, gleich , bei

5. Was haben Funktionsgraphen und gemeinsam? Glaubst du nicht, dass sie „nach demselben Muster gemacht“ sind – genau wie der rechte Zweig der Funktion und der Graph der Funktion oder wie die Graphen der Exponential- und Logarithmusfunktionen?

Stellen Sie sich vor, wir schneiden ein kleines Fragment von bis aus einer gewöhnlichen Sinuswelle aus und drehen es dann vertikal - und wir erhalten das Arkussinusdiagramm.

Die Tatsache, dass für die Funktion in diesem Intervall die Werte des Arguments sind, dann gibt es für den Arkussinus die Werte der Funktion. Das ist wie es sein sollte! Schließlich sind Sinus und Arkussinus zueinander inverse Funktionen. Andere Beispiele für Paare von zueinander inversen Funktionen sind for und , sowie die Exponential- und Logarithmusfunktionen.

Erinnern Sie sich, dass die Graphen gegenseitig inverser Funktionen in Bezug auf die gerade Linie symmetrisch sind

In ähnlicher Weise definieren wir die Funktion.Nur das Segment, das wir brauchen, ist eines, auf dem jeder Wert des Winkels seinem eigenen Kosinuswert entspricht, und wenn wir den Kosinus kennen, können wir den Winkel eindeutig finden. Wir brauchen einen Schnitt

Der Arkuskosinus von a ist die Zahl , so dass

Es ist leicht zu merken: „Bogenkosinusse leben von oben“, und zwar nicht nur von oben, sondern auf einem Segment

Bezeichnung: Definitionsbereich des Arkuskosinus - Segment Wertebereich - Segment

Offensichtlich wird das Segment gewählt, weil darauf jeder Kosinuswert nur einmal genommen wird. Mit anderen Worten, jeder Kosinuswert von -1 bis 1 entspricht einem einzelnen Winkelwert aus dem Intervall

Der Arkuskosinus ist weder eine gerade noch eine ungerade Funktion. Stattdessen können wir die folgende offensichtliche Beziehung verwenden:

Zeichnen wir die Funktion

Wir brauchen einen Teil der Funktion, wo sie monoton ist, das heißt, sie nimmt jeden ihrer Werte genau einmal an.

Lassen Sie uns ein Segment auswählen. Auf diesem Segment nimmt die Funktion monoton ab, d. h. die Korrespondenz zwischen den Sätzen und ist eins zu eins. Jeder x-Wert hat seinen eigenen y-Wert. Auf diesem Segment gibt es eine zum Kosinus inverse Funktion, dh die Funktion y \u003d arccosx.

Füllen Sie die Tabelle mit der Definition des Arkuskosinus aus.

Der Arkuskosinus der zum Intervall gehörenden Zahl x wird eine solche zum Intervall gehörende Zahl y sein

Weil ;

Als ;

Als ,

Als ,

			0
					0

Hier ist die Darstellung des Arkuskosinus:

Funktionseigenschaften

1. Definitionsbereich

2. Wertebereich

Dies ist eine generische Funktion - sie ist weder gerade noch ungerade.

4. Die Funktion ist streng fallend. Die Funktion y \u003d arccosx nimmt den größten Wert an, gleich , bei , und der kleinste Wert, gleich Null, nimmt an

5. Die Funktionen und sind zueinander invers.

Die nächsten sind arctangens und arccotangens.

Der Arkustangens von a ist die Zahl , so dass

Bezeichnung: . Der Definitionsbereich des Arcustangens ist das Intervall, der Wertebereich das Intervall.

Warum sind die Intervallenden - Punkte bei der Definition des Arcustangens ausgeschlossen? Natürlich, weil die Tangente an diesen Punkten nicht definiert ist. Es gibt keine Zahl a, die gleich der Tangente eines dieser Winkel ist.

Lassen Sie uns den Arcus Tangens zeichnen. Laut Definition ist der Arkustangens einer Zahl x eine Zahl y, die zum Intervall gehört, so dass

Wie man ein Diagramm erstellt, ist bereits klar. Da der Arkustangens die Umkehrfunktion des Tangens ist, gehen wir wie folgt vor:

Wir wählen einen solchen Ausschnitt des Funktionsgraphen, bei dem die Entsprechung zwischen x und y eineindeutig ist. Dies ist das Intervall C. In diesem Abschnitt nimmt die Funktion Werte von bis an

Dann ist die Umkehrfunktion, dh die Funktion, der Definitionsbereich die gesamte Zahlenlinie, von bis und der Wertebereich ist das Intervall

Meint,

Meint,

Meint,

Aber was passiert, wenn x unendlich groß ist? Mit anderen Worten, wie verhält sich diese Funktion, wenn x gegen unendlich geht?

Wir können uns die Frage stellen: Für welche Zahl im Intervall geht der Wert des Tangens gegen unendlich? - Offensichtlich das

Für unendlich große Werte von x nähert sich also die Darstellung des Arcus Tangens der horizontalen Asymptote

In ähnlicher Weise nähert sich die Darstellung des Arkustangens der horizontalen Asymptote, wenn x gegen minus unendlich tendiert

In der Abbildung - ein Diagramm der Funktion

Funktionseigenschaften

1. Definitionsbereich

2. Wertebereich

3. Die Funktion ist ungerade.

4. Die Funktion ist streng steigend.

6. Die Funktionen und sind zueinander invers - natürlich, wenn die Funktion auf dem Intervall betrachtet wird

Auf ähnliche Weise definieren wir die Funktion des Arkuskotangens und zeichnen ihren Graphen.

Der Arkustangens von a ist die Zahl , so dass

Funktionsgraph:

Funktionseigenschaften

1. Definitionsbereich

2. Wertebereich

3. Die Funktion ist von allgemeiner Form, dh weder gerade noch ungerade.

4. Die Funktion ist streng fallend.

5. Direkte und - horizontale Asymptoten der gegebenen Funktion.

6. Die Funktionen und sind gegenseitig invers, wenn sie auf dem Intervall betrachtet werden

Inverse trigonometrische Funktionen sind mathematische Funktionen, die die Inverse trigonometrischer Funktionen sind.

Funktion y=arcsin(x)

Der Arkussinus der Zahl α ist eine solche Zahl α aus dem Intervall [-π/2;π/2], deren Sinus gleich α ist.
Funktionsgraph
Die Funktion y \u003d sin⁡ (x) im Intervall [-π / 2; π / 2] ist streng steigend und stetig; daher hat es eine umgekehrte Funktion, die strikt ansteigend und kontinuierlich ist.
Die Umkehrfunktion für die Funktion y= sin⁡(x), wobei x ∈[-π/2;π/2], heißt Arkussinus und wird als y=arcsin(x) bezeichnet, wobei x∈[-1;1 ].
Gemäß der Definition der Umkehrfunktion ist der Definitionsbereich des Arkussinus also das Segment [-1; 1], und die Wertemenge ist das Segment [-π/2; π/2].
Beachten Sie, dass der Graph der Funktion y=arcsin(x), wobei x ∈[-1;1]., symmetrisch zum Graph der Funktion y= sin(⁡x) ist, wobei x∈[-π/2;π]. /2], bezogen auf die Winkelhalbierende der Koordinatenwinkel erstes und drittes Viertel.

Der Gültigkeitsbereich der Funktion y=arcsin(x).

Beispiel Nummer 1.

arcsin(1/2) finden?

Da der Wertebereich der Funktion arcsin(x) zum Intervall [-π/2;π/2] gehört, ist nur der Wert π/6 geeignet, also arcsin(1/2) = π/6.
Antwort: π/6

Beispiel #2.
arcsin(-(√3)/2) finden?

Da der Wertebereich von arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2] ist, kommt nur der Wert -π/3 in Frage, also arcsin(-(√3)/2) =- π/3.

Funktion y=arccos(x)

Der Arkuskosinus einer Zahl α ist eine Zahl α aus dem Intervall, dessen Kosinus gleich α ist.

Funktionsgraph

Die Funktion y= cos(⁡x) auf dem Intervall ist streng fallend und stetig; Daher hat es eine umgekehrte Funktion, die streng abnehmend und kontinuierlich ist.
Die Umkehrfunktion zur Funktion y= cos⁡x, mit x ∈, wird aufgerufen Arkuskosinus und bezeichnet y=arccos(x), wobei x ∈[-1;1].
Gemäß der Definition der Umkehrfunktion ist der Definitionsbereich des Arkuskosinus also das Segment [-1; 1], und die Wertemenge ist das Segment.
Beachten Sie, dass der Graph der Funktion y=arccos(x), mit x ∈[-1;1], symmetrisch zum Graphen der Funktion y= cos(⁡x), mit x ∈, in Bezug auf die Winkelhalbierende von ist Koordinatenwinkel des ersten und dritten Viertels.

Der Geltungsbereich der Funktion y=arccos(x).

Beispiel #3.

arccos(1/2) finden?

Da der Wertebereich von arccos(x) gleich x∈ ist, ist nur der Wert π/3 geeignet, also arccos(1/2) =π/3.
Beispiel Nummer 4.
arccos(-(√2)/2) finden?

Da der Wertebereich der Funktion arccos(x) zum Intervall gehört, ist nur der Wert 3π/4 geeignet, also arccos(-(√2)/2) =3π/4.

Antwort: 3π/4

Funktion y=arctg(x)

Der Arkustangens einer Zahl α ist eine solche Zahl α aus dem Intervall [-π/2;π/2], deren Tangens gleich α ist.

Funktionsgraph

Die Tangensfunktion ist stetig und streng steigend auf dem Intervall (-π/2; π/2); daher hat es eine Umkehrfunktion, die kontinuierlich und strikt ansteigend ist.
Die Umkehrfunktion für die Funktion y= tg⁡(x), wobei x∈(-π/2;π/2); wird Arkustangens genannt und mit y=arctg(x) bezeichnet, wobei x∈R.
Gemäß der Definition der Umkehrfunktion ist der Definitionsbereich des Arkustangens also das Intervall (-∞;+∞), und die Wertemenge ist das Intervall
(-π/2;π/2).
Beachten Sie, dass der Graph der Funktion y=arctg(x), wobei x∈R, symmetrisch zum Graphen der Funktion y=tg⁡x ist, wobei x ∈ (-π/2;π/2), in Bezug auf die Winkelhalbierende der Koordinatenwinkel des ersten und dritten Viertels.

Der Geltungsbereich der Funktion y=arctg(x).

Beispiel #5?

Finde arctg((√3)/3).

Da der Wertebereich von arctan(x) x ∈(-π/2;π/2) ist nur der Wert π/6 geeignet, also arctg((√3)/3) =π/6.
Beispiel Nummer 6.
arctg(-1) finden?

Da der Wertebereich von arctg(x) x ∈(-π/2;π/2) ist, ist nur der Wert -π/4 geeignet, also arctg(-1) = - π/4.

Funktion y=arctg(x)

Der Arkustangens einer Zahl α ist eine solche Zahl α aus dem Intervall (0; π), deren Kotangens gleich α ist.

Funktionsgraph

Auf dem Intervall (0;π) nimmt die Kotangensfunktion strikt ab; außerdem ist es an jedem Punkt dieses Intervalls kontinuierlich; daher hat diese Funktion auf dem Intervall (0;π) eine Umkehrfunktion, die streng abnehmend und stetig ist.
Die Umkehrfunktion für die Funktion y=ctg(x) mit x ∈(0;π) heißt Bogenkotangens und wird mit y=arcctg(x) bezeichnet, wobei x∈R.
Gemäß der Definition der Umkehrfunktion ist der Definitionsbereich des Arkustangens also R, und die Wertemenge ist das Intervall (0; π). ;π) in Bezug auf die Winkelhalbierende von die Koordinatenwinkel des ersten und dritten Viertels.

Der Geltungsbereich der Funktion y=arcctg(x).

Beispiel Nummer 7.
arcctg((√3)/3) finden?

Da der Wertebereich von arcctg(x) x ∈(0;π) ist, ist nur der Wert π/3 geeignet, also arccos((√3)/3) =π/3.

Beispiel Nummer 8.
arcctg(-(√3)/3) finden?

Da der Wertebereich von arcctg(x) x∈(0;π) ist, ist nur der Wert 2π/3 geeignet, also arccos(-(√3)/3) =2π/3.

Herausgeber: Ageeva Lyubov Alexandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

Inverse trigonometrische Funktionen(Kreisfunktionen, Bogenfunktionen) - mathematische Funktionen, die invers zu trigonometrischen Funktionen sind.

Dazu gehören in der Regel 6 Funktionen:

• Arkussinus(Symbol: arcsin x; arcsin x ist der Winkel Sünde was gleich ist x),
• Arkuskosinus(Symbol: arccos x; arccos x ist der Winkel, dessen Kosinus gleich ist x usw),
• Bogentangente(Symbol: arctg x oder arctan x),
• Bogentangente(Symbol: arcctg x oder arccot ​​x oder arccotan x),
• Bogensekant(Symbol: Bogensekunde x),
• Arkuskosekan(Symbol: arccosec x oder arccsc x).

Arkussinus (y = arcsin x) ist die Umkehrfunktion zu Sünde (x = siny . Mit anderen Worten, gibt den Winkel nach seinem Wert zurück Sünde.

Arkuskosinus (y = arccos x) ist die Umkehrfunktion zu cos (x = cos y cos.

Arkustangens (y = arctan x) ist die Umkehrfunktion zu tg (x = tgy), die einen Definitionsbereich und eine Reihe von Werten hat . Mit anderen Worten, gibt den Winkel nach seinem Wert zurück tg.

Bogentangente (y = arcctg x) ist die Umkehrfunktion zu ctg (x = ctg y), die einen Definitionsbereich und eine Reihe von Werten hat. Mit anderen Worten, gibt den Winkel nach seinem Wert zurück ctg.

Bogensekunde- arcsecans, gibt den Winkel durch den Wert seiner Sekante zurück.

Arccosec- Arkuskosekans, gibt den Winkel durch den Wert seines Kosekans zurück.

Wenn die inverse trigonometrische Funktion am angegebenen Punkt nicht definiert ist, erscheint ihr Wert nicht in der resultierenden Tabelle. Funktionen Bogensekunde und Arccosec sind nicht auf dem Segment (-1,1) definiert, aber Bogensünde und arccos sind nur auf dem Intervall [-1,1] definiert.

Der Name der inversen trigonometrischen Funktion wird aus dem Namen der entsprechenden trigonometrischen Funktion gebildet, indem das Präfix „ark-“ (von lat. Bogen uns- Bogen). Dies liegt daran, dass geometrisch der Wert der inversen trigonometrischen Funktion mit der Länge des Bogens eines Einheitskreises (oder des Winkels, der diesen Bogen begrenzt) verbunden ist, der dem einen oder anderen Segment entspricht.

Manchmal verwenden sie in der ausländischen Literatur sowie in wissenschaftlichen / technischen Taschenrechnern Notationen wie Sünde −1, cos -1 für Arkussinus, Arkuskosinus und dergleichen - dies gilt als nicht ganz genau, weil wahrscheinliche Verwechslung mit der Potenzierung einer Funktion −1 (« −1 » (minus der ersten Potenz) definiert die Funktion x=f-1(y), die Umkehrung der Funktion y=f(x)).

Grundbeziehungen der inversen trigonometrischen Funktionen.

Hier ist es wichtig, auf die Intervalle zu achten, für die die Formeln gelten.

Formeln zu inversen trigonometrischen Funktionen.

Bezeichnen Sie einen der Werte der inversen trigonometrischen Funktionen durch Arksin x, Arccos x, Arctan x, Arccot ​​x und behalte die Notation bei: arcsin x, arcus x, arctan x, arccot ​​x für ihre Hauptwerte, dann wird die Beziehung zwischen ihnen durch solche Beziehungen ausgedrückt.

Die Funktionen sin, cos, tg und ctg werden immer von Arkussinus, Arkuskosinus, Arkustangens und Arkuskotangens begleitet. Das eine folgt aus dem anderen, und Funktionspaare sind ebenso wichtig für die Arbeit mit trigonometrischen Ausdrücken.

Betrachten Sie das Zeichnen eines Einheitskreises, der die Werte trigonometrischer Funktionen grafisch darstellt.

Wenn Sie die Bögen OA, arcos OC, arctg DE und arcctg MK berechnen, sind sie alle gleich dem Wert des Winkels α. Die folgenden Formeln spiegeln die Beziehung zwischen den wichtigsten trigonometrischen Funktionen und ihren entsprechenden Bögen wider.

Um mehr über die Eigenschaften des Arkussinus zu verstehen, ist es notwendig, seine Funktion zu betrachten. Zeitlicher Ablauf hat die Form einer asymmetrischen Kurve, die durch den Koordinatenmittelpunkt verläuft.

Arcussinus-Eigenschaften:

Wenn wir Diagramme vergleichen Sünde und Bogensünde, können zwei trigonometrische Funktionen gemeinsame Muster finden.

Arkuskosinus

Arccos der Zahl a ist der Wert des Winkels α, dessen Kosinus gleich a ist.

Kurve y = Bogen x spiegelt den Plot von arcsin x wider, mit dem einzigen Unterschied, dass er durch den Punkt π/2 auf der OY-Achse verläuft.

Betrachten Sie die Arkuskosinusfunktion genauer:

1. Die Funktion wird auf dem Segment [-1; eines].
2. ODZ für arccos - .
3. Der Graph befindet sich vollständig in den Vierteln I und II, und die Funktion selbst ist weder gerade noch ungerade.
4. Y = 0 für x = 1.
5. Die Kurve nimmt über ihre gesamte Länge ab. Einige Eigenschaften des Arkuskosinus sind die gleichen wie bei der Kosinusfunktion.

Einige Eigenschaften des Arkuskosinus sind die gleichen wie bei der Kosinusfunktion.

Es ist möglich, dass ein solches „detailliertes“ Studium der „Bögen“ Schulkindern überflüssig erscheint. Ansonsten aber irgendein elementarer Typ USE-Zuweisungen kann Schüler verwirren.

Übung 1. Geben Sie die in der Abbildung gezeigten Funktionen an.

Antworten: Reis. Abb. 1 - 4, Abb. 2 - 1.

In diesem Beispiel liegt die Betonung auf den kleinen Dingen. Normalerweise sind die Schüler sehr unaufmerksam gegenüber der Konstruktion von Graphen und dem Auftreten von Funktionen. In der Tat, warum sich die Form der Kurve merken, wenn sie immer aus berechneten Punkten aufgebaut werden kann. Vergessen Sie nicht, dass unter Testbedingungen die Zeit, die zum Zeichnen einer einfachen Aufgabe aufgewendet wird, zum Lösen komplexerer Aufgaben benötigt wird.

Arkustangens

Arctg die Zahl a ist ein solcher Wert des Winkels α, dass seine Tangente gleich a ist.

Betrachten wir den Plot des Arkustangens, so können wir folgende Eigenschaften unterscheiden:

1. Der Graph ist unendlich und auf dem Intervall (- ∞; + ∞) definiert.
2. Arctangens ist eine ungerade Funktion, daher arctan (- x) = - arctan x.
3. Y = 0 für x = 0.
4. Die Kurve steigt über den gesamten Definitionsbereich an.

Lassen Sie uns eine kurze vergleichende Analyse von tg x und arctg x in Form einer Tabelle geben.

Bogentangente

Arcctg der Zahl a - nimmt einen solchen Wert von α aus dem Intervall (0; π), dass sein Kotangens gleich a ist.

Eigenschaften der Arcus-Cotangens-Funktion:

1. Das Funktionsdefinitionsintervall ist unendlich.
2. Der Bereich der zulässigen Werte ist das Intervall (0; π).
3. F(x) ist weder gerade noch ungerade.
4. Über seine gesamte Länge nimmt der Graph der Funktion ab.

Der Vergleich von ctg x und arctg x ist sehr einfach, Sie müssen nur zwei Zeichnungen zeichnen und das Verhalten der Kurven beschreiben.

Aufgabe 2. Korrelieren Sie den Graphen und die Form der Funktion.

Logischerweise zeigen die Grafiken, dass beide Funktionen zunehmen. Daher zeigen beide Figuren eine arctg-Funktion. Aus den Eigenschaften des Arcustangens ist bekannt, dass y=0 für x = 0,

Antworten: Reis. 1 - 1, Abb. 2-4.

Trigonometrische Identitäten arcsin, arcos, arctg und arcctg

Zuvor haben wir bereits die Beziehung zwischen Bögen und den Hauptfunktionen der Trigonometrie identifiziert. Diese Abhängigkeit kann durch eine Reihe von Formeln ausgedrückt werden, die es ermöglichen, beispielsweise den Sinus eines Arguments durch seinen Arcussinus, Arkuskosinus oder umgekehrt auszudrücken. Die Kenntnis solcher Identitäten kann beim Lösen spezifischer Beispiele nützlich sein.

Es gibt auch Verhältnisse für arctg und arcctg:

Ein weiteres nützliches Formelpaar legt den Wert für die Summe der arcsin- und arcos- und arcctg- und arcctg-Werte desselben Winkels fest.

Beispiele für Problemlösungen

Trigonometrieaufgaben können bedingt in vier Gruppen eingeteilt werden: Berechnen Sie den numerischen Wert eines bestimmten Ausdrucks, stellen Sie eine gegebene Funktion dar, finden Sie ihren Definitionsbereich oder ODZ und führen Sie analytische Transformationen durch, um das Beispiel zu lösen.

Bei der Lösung der ersten Art von Aufgaben muss der folgende Aktionsplan eingehalten werden:

Bei der Arbeit mit Funktionsgraphen kommt es vor allem auf die Kenntnis ihrer Eigenschaften und des Aussehens der Kurve an. Identitätstabellen werden benötigt, um trigonometrische Gleichungen und Ungleichungen zu lösen. Je mehr Formeln sich der Schüler merken kann, desto einfacher ist es, die Antwort auf die Aufgabe zu finden.

Angenommen, in der Prüfung muss die Antwort für eine Gleichung des Typs gefunden werden:

Wenn Sie den Ausdruck richtig transformieren und in die gewünschte Form bringen, ist das Lösen sehr einfach und schnell. Lassen Sie uns zunächst arcsin x auf die rechte Seite der Gleichung verschieben.

Wenn wir uns an die Formel erinnern arcsin (sinα) = α, dann können wir die Suche nach Antworten auf die Lösung eines Systems aus zwei Gleichungen reduzieren:

Die Beschränkung auf das Modell x ergab sich wiederum aus den Eigenschaften von arcsin: ODZ für x [-1; eines]. Wenn a ≠ 0, ist ein Teil des Systems eine quadratische Gleichung mit Wurzeln x1 = 1 und x2 = - 1/a. Bei a = 0 ist x gleich 1.

Definition und Notation

Arkussinus (y = arcsin x) ist die Umkehrfunktion des Sinus (x = siny -1 ≤ x ≤ 1 und die Wertemenge -π /2 ≤ y ≤ π/2.
sin(Arkussin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .

Der Arkussinus wird manchmal bezeichnet als:
.

Graph der Arkussinusfunktion

Graph der Funktion y = arcsin x

Der Arcussinus-Plot wird aus dem Sinus-Plot durch Vertauschen der Abszissen- und Ordinatenachse erhalten. Um die Mehrdeutigkeit zu beseitigen, wird der Wertebereich auf das Intervall beschränkt, auf dem die Funktion monoton ist. Diese Definition wird als Hauptwert des Arkussinus bezeichnet.

Arccosinus, arccos

Definition und Notation

Arkuskosinus (y = arccos x) ist die Umkehrung des Kosinus (x = gemütlich). Es hat Reichweite -1 ≤ x ≤ 1 und viele Werte 0 ≤ y ≤ π.
cos(arcos x) = x ;
arccos(cosx) = x .

Der Arkuskosinus wird manchmal bezeichnet als:
.

Graph der Arkuskosinusfunktion

Graph der Funktion y = arccos x

Der Arkuskosinus-Plot wird aus dem Cosinus-Plot durch Vertauschen der Abszissen- und Ordinatenachse erhalten. Um die Mehrdeutigkeit zu beseitigen, wird der Wertebereich auf das Intervall beschränkt, auf dem die Funktion monoton ist. Diese Definition wird als Hauptwert des Arkuskosinus bezeichnet.

Parität

Die Arkussinusfunktion ist ungerade:
arcsin(-x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

Die Arkuskosinusfunktion ist weder gerade noch ungerade:
arccos(-x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

Eigenschaften - Extrema, Zunahme, Abnahme

Die Arkussinus- und Arkuskosinus-Funktionen sind in ihrem Definitionsbereich stetig (siehe Stetigkeitsbeweis). Die Haupteigenschaften von Arkussinus und Arkuskosinus sind in der Tabelle dargestellt.

	y= arcsin x	y= arccos x
Reichweite und Kontinuität	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Wertebereich
Aufsteigend absteigend	steigt monoton an	nimmt monoton ab
Höchstwerte
Tiefs
Nullen, y= 0	x= 0	x= 1
Schnittpunkte mit der y-Achse, x = 0	y= 0	y = π/ 2

Tabelle der Arkussinus und Arkuskosinus

Diese Tabelle zeigt die Werte von Arkussinus und Arkuskosinus in Grad und Bogenmaß für einige Werte des Arguments.

x	arcsin x		arccos x
	Grad	froh.	Grad	froh.
- 1	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
-	- 45°	-	135°
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Formeln

Siehe auch: Ableitung von Formeln für inverse trigonometrische Funktionen

Summen- und Differenzenformeln

bei oder

bei und

bei und

bei oder

bei und

bei und

bei

bei

bei

bei

Logarithmische Ausdrücke, komplexe Zahlen

Siehe auch: Ableitung von Formeln

Ausdrücke in Bezug auf hyperbolische Funktionen

Derivate

;
.
Siehe Ableitung von Arkussinus- und Arkuskosinus-Ableitungen > > >

Ableitungen höherer Ordnung:
,
wobei ein Polynom vom Grad ist. Es wird durch die Formeln bestimmt:
;
;
.

Siehe Ableitung von Ableitungen höherer Ordnung von Arkussinus und Arkuskosinus > > >

Integrale

Wir machen eine Substitution x = Sünde t. Wir integrieren partiell unter Berücksichtigung, dass -π/ 2 ≤ t ≤ π/2, Kosten t ≥ 0:
.

Wir drücken den Arkuskosinus durch den Arkussinus aus:
.

Erweiterung in Serie

Für |x|< 1 es findet folgende Zerlegung statt:
;
.

Umkehrfunktionen

Die Kehrwerte des Arkussinus und Arkuskosinus sind Sinus bzw. Kosinus.

Im gesamten Definitionsbereich gelten folgende Formeln:
sin(Arkussin x) = x
cos(arcos x) = x .

Die folgenden Formeln gelten nur für die Wertemenge von Arkussinus und Arkuskosinus:
arcsin(sin x) = x bei
arccos(cosx) = x bei .

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten höherer Bildungseinrichtungen, Lan, 2009.

Siehe auch: