Was ist die erste Ableitung der x-Koordinate. Die zeitliche Ableitung der Koordinate ist die Geschwindigkeit. x'(t)=v(t) Physikalische Bedeutung der Ableitung. Einige Anwendungen der Ableitung in der Physik

Algebra ist großzügig. Sie gibt oft mehr, als von ihr verlangt wird.

J. Dalamber

Interdisziplinäre Verbindungen sind eine didaktische Voraussetzung und ein Mittel zur tiefen und umfassenden Aneignung naturwissenschaftlicher Grundlagen in der Schule.
Darüber hinaus tragen sie zur Steigerung des naturwissenschaftlichen Wissensstands der Schüler, zur Entwicklung des logischen Denkens und ihrer kreativen Fähigkeiten bei. Die Umsetzung interdisziplinärer Zusammenhänge vermeidet Doppelarbeit im Stoffstudium, spart Zeit und schafft günstige Voraussetzungen für die Herausbildung allgemeinbildender Fähigkeiten und Fertigkeiten der Studierenden.
Die Herstellung interdisziplinärer Verbindungen im Studium der Physik erhöht die Wirksamkeit der polytechnischen und praxisorientierten Ausbildung.
Motivation ist im Mathematikunterricht sehr wichtig. Ein mathematisches Problem wird von den Schülern besser wahrgenommen, wenn es wie vor ihren Augen entsteht, nach Berücksichtigung einiger physikalischer Phänomene oder technischer Probleme formuliert wird.
Egal wie viel der Lehrer über die Rolle der Praxis für den Fortschritt der Mathematik und die Bedeutung der Mathematik für das Studium der Physik, die Entwicklung der Technologie spricht, aber wenn er nicht zeigt, wie die Physik die Entwicklung der Mathematik beeinflusst und wie die Mathematik hilft Übung in der Lösung seiner Probleme, dann wird die Entwicklung einer materialistischen Weltanschauung ernsthaften Schaden nehmen. Aber um zu zeigen, wie die Mathematik bei der Lösung ihrer Probleme hilft, brauchen wir Aufgaben, die nicht zu methodischen Zwecken erfunden sind, sondern tatsächlich in verschiedenen Bereichen menschlicher praktischer Tätigkeit auftreten.

Historische Informationen

Die Differentialrechnung wurde Ende des 17. Jahrhunderts von Newton und Leibniz auf der Grundlage von zwei Problemen entwickelt:

• über das Finden einer Tangente an eine beliebige Linie;
• auf der Suche nach Geschwindigkeit unter einem willkürlichen Bewegungsgesetz.

Noch früher wurde der Begriff einer Ableitung in den Werken des italienischen Mathematikers Nicolo Tartaglia (ca. 1500 - 1557) angetroffen - hier tauchte im Zuge der Untersuchung der Frage des Neigungswinkels der Waffe eine Tangente auf, die den größten gewährleistet Reichweite des Geschosses.

Im 17. Jahrhundert wurde auf der Grundlage der Bewegungstheorie von G. Galileo das kinematische Konzept der Ableitung aktiv entwickelt.

Der bekannte Wissenschaftler Galileo Galilei widmet der Rolle der Ableitung in der Mathematik eine ganze Abhandlung. Verschiedene Darstellungen fanden sich in den Werken von Descartes, dem französischen Mathematiker Roberval und dem englischen Wissenschaftler L. Gregory. Lopital, Bernoulli, Lagrange, Euler, Gauß leisteten einen großen Beitrag zum Studium der Differentialrechnung.

Einige Anwendungen der Ableitung in der Physik

Derivat- das Grundkonzept der Differentialrechnung, Charakterisierung Funktionsänderungsrate.

Bestimmt als Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion zum Inkrement ihres Arguments, wenn das Inkrement des Arguments gegen Null geht, falls eine solche Grenze existiert.

Auf diese Weise,

Also um die Ableitung einer Funktion zu berechnen f(x) am Punkt x0 Per Definition benötigen Sie:

Betrachten wir einige physikalische Probleme, für die dieses Schema angewendet wird.

Das Problem der Momentangeschwindigkeit. Die mechanische Bedeutung der Ableitung

Erinnern Sie sich, wie die Bewegungsgeschwindigkeit bestimmt wurde. Der Materialpunkt bewegt sich entlang der Koordinatenlinie. Die x-Koordinate dieses Punktes ist die bekannte Funktion x(t) Zeit t. Für eine gewisse Zeit von t0 Vor t0+ Bewegungspunkt ist gleich x(t 0 + ) – x(t0) - und seine Durchschnittsgeschwindigkeit ist: .
Normalerweise ist die Art der Bewegung so, dass bei kleinen , die Durchschnittsgeschwindigkeit praktisch unverändert bleibt, d.h. Bewegung mit einem hohen Maß an Genauigkeit kann als gleichmäßig angesehen werden. Mit anderen Worten, der Wert der Durchschnittsgeschwindigkeit tendiert zu einem wohldefinierten Wert, der als Momentangeschwindigkeit bezeichnet wird v(t0) materieller Zeitpunkt t0.

So,

Aber per definitionem
Berücksichtigen Sie daher die momentane Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt t0

Ähnlich argumentierend erhalten wir, dass die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit die Beschleunigung ist, d.h.

Das Problem der Wärmekapazität eines Körpers

Damit die Temperatur eines 1 g schweren Körpers von 0 Grad auf t Grad braucht der Körper eine gewisse Wärmemenge Q. Meint, Q Es gibt eine Temperaturfunktion t, auf die der Körper erhitzt wird: Q = Q(t). Lassen Sie die Körpertemperatur ab steigen t0 Vor t. Die für diese Erwärmung aufgewendete Wärmemenge ist gleich Das Verhältnis ist die Wärmemenge, die im Durchschnitt benötigt wird, um den Körper bei Temperaturänderung um 1 Grad zu erwärmen Grad. Dieses Verhältnis wird als mittlere Wärmekapazität eines gegebenen Körpers bezeichnet und bezeichnet ab Mi.
Da Die durchschnittliche Wärmekapazität gibt keine Vorstellung von der Wärmekapazität für einen Temperaturwert T, dann wird das Konzept der Wärmekapazität bei einer bestimmten Temperatur eingeführt t0(an dieser Stelle t0).
Wärmekapazität bei Temperatur t0(an einem gegebenen Punkt) heißt Grenze

Das Problem der linearen Dichte des Stabes

Betrachten Sie einen inhomogenen Stab.

Für einen solchen Stab stellt sich die Frage nach der Geschwindigkeit der Massenänderung in Abhängigkeit von seiner Länge.

Durchschnittliche lineare Dichte Die Masse des Stabes ist eine Funktion seiner Länge X.

Somit wird die lineare Dichte eines inhomogenen Stabes an einem bestimmten Punkt wie folgt bestimmt:

Betrachtet man solche Probleme, kann man ähnliche Schlussfolgerungen für viele physikalische Prozesse ziehen. Einige davon sind in der Tabelle aufgeführt.

Funktion	Formel	Fazit
m(t) ist die Zeitabhängigkeit der Masse des verbrauchten Kraftstoffs.		Derivat Masse im Laufe der Zeit Es gibt Geschwindigkeit Kraftstoffverbrauch.
T(t) ist die Zeitabhängigkeit der Temperatur des erhitzten Körpers.		Derivat Temperatur im Laufe der Zeit Es gibt Geschwindigkeit Körperheizung.
m(t) ist die Zeitabhängigkeit der Masse beim Zerfall eines radioaktiven Stoffes.		Derivat Massen an radioaktivem Material im Laufe der Zeit Es gibt Geschwindigkeit radioaktiver Zerfall.
q(t) - die Abhängigkeit der durch den Leiter fließenden Strommenge von der Zeit		Derivat Strommenge im Laufe der Zeit Es gibt Stromstärke.
A(t) - Abhängigkeit der Arbeit von der Zeit		Derivat pünktlich arbeiten Es gibt Energie.

Praktische Aufgaben:

Ein aus einer Kanone abgefeuertes Projektil bewegt sich nach dem Gesetz x(t) = – 4t 2 + 13t (m). Finden Sie die Geschwindigkeit des Projektils am Ende von 3 Sekunden.

Die Strommenge, die ab dem Zeitpunkt t \u003d 0 s durch den Leiter fließt, ergibt sich aus der Formel q (t) \u003d 2t 2 + 3t + 1 (Cool). Finden Sie die Stromstärke am Ende der fünften Sekunde .

Die Wärmemenge Q (J), die benötigt wird, um 1 kg Wasser von 0 o auf t o C zu erhitzen, wird durch die Formel Q(t) = t + 0,00002t 2 + 0,0000003t 3 bestimmt. Berechnen Sie die Wärmekapazität von Wasser, wenn t = 100 o .

Der Körper bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz x(t) = 3 + 2t + t 2 (m). Bestimmen Sie seine Geschwindigkeit und Beschleunigung zu den Zeiten 1 s und 3 s.

Ermitteln Sie die Größe der Kraft F, die auf einen Massenpunkt m wirkt und sich gemäß dem Gesetz x (t) \u003d t 2 - 4t 4 (m) bei t \u003d 3 s bewegt.

Ein Körper mit der Masse m = 0,5 kg bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz x (t) = 2t 2 + t - 3 (m). Finden Sie die kinetische Energie des Körpers 7 Sekunden nach Beginn der Bewegung.

Fazit

Aus der Technik lassen sich noch viele weitere Probleme spezifizieren, für deren Lösung es auch notwendig ist, die Änderungsgeschwindigkeit der entsprechenden Funktion zu finden.
Zum Beispiel die Winkelgeschwindigkeit eines rotierenden Körpers, den linearen Ausdehnungskoeffizienten von Körpern beim Erhitzen, die Geschwindigkeit einer chemischen Reaktion zu einem bestimmten Zeitpunkt.
Angesichts der Fülle von Problemen, die zur Berechnung der Änderungsrate einer Funktion oder, mit anderen Worten, zur Berechnung der Grenze des Verhältnisses des Funktionsinkrements zum Argumentsinkrement bei letzterem führen gegen Null tendiert, hat es sich als notwendig erwiesen, einen solchen Grenzwert für eine beliebige Funktion herauszugreifen und seine Haupteigenschaften zu untersuchen. Diese Grenze wird aufgerufen Ableitungsfunktion.

So haben wir an einigen Beispielen gezeigt, wie verschiedene physikalische Prozesse mit Hilfe mathematischer Probleme beschrieben werden, wie die Analyse von Lösungen Rückschlüsse und Vorhersagen über den Ablauf von Prozessen zulässt.
Natürlich ist die Zahl solcher Beispiele enorm, und ein recht großer Teil davon ist interessierten Studierenden durchaus zugänglich.

„Musik kann die Seele erheben oder beruhigen,
Malen ist angenehm für das Auge,
Poesie - um Gefühle zu wecken,
Philosophie - um die Bedürfnisse des Geistes zu befriedigen,
Engineering - Verbesserung der Materialseite Das Leben der Menschen,
Und die Mathematik kann all diese Ziele erreichen.“

So sagte der amerikanische Mathematiker Moritz Kline.

Referenzliste :

1. Abramov A.N., Vilenkin N.Ya. und andere Ausgewählte Fragen der Mathematik. 10. Klasse. - M: Aufklärung, 1980.
2. Vilenkin N.Ya., Shibasov A.P. Hinter den Seiten eines Mathematiklehrbuchs. - M: Aufklärung, 1996.
3. Dobrokhotova M.A., Safonov A.N.. Funktion, ihre Grenze und Ableitung. - M: Aufklärung, 1969.
4. Kolmogorov A.N., Abramov A.M. Algebra und der Beginn der mathematischen Analyse. - M: Aufklärung, 2010.
5. Kolossow A.A. Ein Buch für die außerschulische Lektüre in Mathematik. - M: Uchpedgiz, 1963.
6. Fichtengolts G.M. Grundlagen der mathematischen Analyse, Teil 1 - M: Nauka, 1955.
7. Jakowlew G. N. Mathematik für technische Schulen. Algebra und die Anfänge der Analysis, Teil 1 - M: Nauka, 1987.

Die physikalische Bedeutung der Ableitung. Die USE in Mathematik umfasst eine Gruppe von Aufgaben, für deren Lösung Kenntnisse und Verständnis der physikalischen Bedeutung der Ableitung erforderlich sind. Insbesondere gibt es Aufgaben, bei denen das Bewegungsgesetz eines bestimmten Punktes (Objekts) gegeben ist, ausgedrückt durch eine Gleichung, und es erforderlich ist, seine Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt der Bewegung oder der Zeit, nach der das Objekt annimmt, zu finden eine bestimmte vorgegebene Geschwindigkeit.Die Aufgaben sind sehr einfach, sie werden in einem Schritt gelöst. So:

Gegeben sei das Bewegungsgesetz eines materiellen Punktes x (t) entlang der Koordinatenachse, wobei x die Koordinate des sich bewegenden Punktes, t die Zeit ist.

Die Geschwindigkeit zu einem gegebenen Zeitpunkt ist die zeitliche Ableitung der Koordinate. Dies ist die mechanische Bedeutung der Ableitung.

Ebenso ist die Beschleunigung die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit:

Somit ist die physikalische Bedeutung der Ableitung Geschwindigkeit. Dies kann die Bewegungsgeschwindigkeit, die Geschwindigkeit einer Änderung in einem Prozess (z. B. das Wachstum von Bakterien), die Arbeitsgeschwindigkeit (und so weiter, es gibt viele angewandte Aufgaben) sein.

Außerdem müssen Sie die Ableitungstabelle kennen (Sie müssen sie ebenso kennen wie das Einmaleins) und die Ableitungsregeln. Konkret ist es zur Lösung der angegebenen Probleme erforderlich, die ersten sechs Ableitungen zu kennen (siehe Tabelle):

Betrachten Sie die Aufgaben:

x (t) \u003d t 2 - 7t - 20

wobei x t die Zeit in Sekunden ist, gemessen ab Beginn der Bewegung. Finden Sie seine Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde) zum Zeitpunkt t = 5 s.

Die physikalische Bedeutung der Ableitung ist Geschwindigkeit (Bewegungsgeschwindigkeit, Prozessänderungsgeschwindigkeit, Arbeitsgeschwindigkeit usw.)

Finden wir das Gesetz der Geschwindigkeitsänderung: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

Für t = 5 gilt:

Antwort: 3

Entscheiden Sie selbst:

Der materielle Punkt bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz x (t) = 6t 2 - 48t + 17, wobei x- Entfernung vom Bezugspunkt in Metern, t- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Finden Sie seine Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde) zum Zeitpunkt t = 9 s.

Der materielle Punkt bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, wo xt- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Finden Sie seine Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde) zum Zeitpunkt t = 6 s.

Der materielle Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz in einer geraden Linie

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

wo x- Entfernung vom Bezugspunkt in Metern,t- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Finden Sie seine Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde) zum Zeitpunkt t = 3 s.

Der materielle Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz in einer geraden Linie

x (t) = (1/6) t 2 + 5t + 28

wobei x der Abstand vom Referenzpunkt in Metern ist, t die Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Zu welchem ​​Zeitpunkt (in Sekunden) war ihre Geschwindigkeit gleich 6 m/s?

Finden wir das Gesetz der Geschwindigkeitsänderung:

Um herauszufinden, zu welchem ​​ZeitpunkttDie Geschwindigkeit war gleich 3 m / s, es ist notwendig, die Gleichung zu lösen:

Antwort: 3

Entscheide dich selbst:

Ein materieller Punkt bewegt sich in einer geraden Linie nach dem Gesetz x (t) \u003d t 2 - 13t + 23, wobei x- Entfernung vom Bezugspunkt in Metern, t- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Zu welchem ​​Zeitpunkt (in Sekunden) war ihre Geschwindigkeit gleich 3 m/s?

Der materielle Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz in einer geraden Linie

x (t) \u003d (1/3) t 3 - 3 t 2 - 5 t + 3

wo x- Entfernung vom Bezugspunkt in Metern, t- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Zu welchem ​​Zeitpunkt (in Sekunden) war ihre Geschwindigkeit gleich 2 m/s?

Ich stelle fest, dass es sich nicht lohnt, sich nur auf diese Art von Aufgaben in der Prüfung zu konzentrieren. Sie können völlig unerwartet Aufgaben einführen, die umgekehrt zu den präsentierten sind. Wenn das Gesetz der Geschwindigkeitsänderung gegeben ist, stellt sich die Frage nach der Bestimmung des Bewegungsgesetzes.

Hinweis: In diesem Fall müssen Sie das Integral der Geschwindigkeitsfunktion finden (dies sind auch Aufgaben in einer Aktion). Wenn Sie die für einen bestimmten Zeitpunkt zurückgelegte Entfernung ermitteln müssen, müssen Sie die Zeit in die resultierende Gleichung einsetzen und die Entfernung berechnen. Wir werden aber auch solche Aufgaben analysieren, verpassen Sie es nicht!Ich wünsche Ihnen Erfolg!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh.

P.S: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie in sozialen Netzwerken über die Website berichten.

Wenn wir uns den physikalischen Anwendungen der Ableitung zuwenden, werden wir etwas andere Notationen als die in der Physik akzeptierten verwenden.

Zunächst ändert sich die Bezeichnung der Funktionen. In der Tat, welche Funktionen werden wir unterscheiden? Diese Funktionen sind physikalische Größen, die von der Zeit abhängen. Beispielsweise können die Koordinate eines Körpers x(t) und seine Geschwindigkeit v(t) durch Formeln wie diese angegeben werden:

Es gibt eine andere Schreibweise für die Ableitung, die sowohl in der Mathematik als auch in der Physik sehr verbreitet ist:

(es lautet ¾de x by de te¿).

Lassen Sie uns näher auf die Bedeutung der Notation (29) eingehen. Der Mathematiker versteht es auf zwei Arten, entweder als Grenzwert:

oder als Bruch, dessen Nenner das Zeitinkrement dt und der Zähler das sogenannte Differential dx der Funktion x(t) ist. Das Konzept eines Differentials ist nicht schwierig, aber wir werden es jetzt nicht diskutieren; es wartet im ersten Gang auf dich.

Der Physiker, der nicht durch die Anforderungen mathematischer Strenge eingeschränkt ist, versteht die Notation (29) eher informell. Sei dx die Koordinatenänderung über die Zeit dt. Nehmen wir das Intervall dt so klein, dass das Verhältnis dx=dt mit einer für uns akzeptablen Genauigkeit nahe an seiner Grenze (30 ) liegt.

Und dann, wird der Physiker sagen, ist die Ableitung der Koordinate nach der Zeit einfach ein Bruch, in dessen Zähler eine hinreichend kleine Änderung der Koordinate dx und in dessen Nenner eine hinreichend kleine Zeitspanne steht dt, während dessen diese Änderung der Koordinate auftrat. Ein solch loses Verständnis der Ableitung ist typisch für das logische Denken in der Physik. Darüber hinaus werden wir uns an dieses physische Maß an Strenge halten.

Kehren wir zum ursprünglichen Beispiel (26 ) zurück und berechnen die Ableitung der Koordinate, und schauen uns gleichzeitig die gemeinsame Verwendung der Schreibweise (28 ) und (29 ) an:

x(t) = 1 + 12t 3t2 ) x(t) =dt d (1 + 12t 3t2 ) = 12 6t:

(Das Ableitungszeichen dt d vor der Klammer entspricht dem Strich über der Klammer in der alten Schreibweise.)

Bitte beachten Sie, dass sich herausstellte, dass die berechnete Ableitung der Koordinate gleich der Geschwindigkeit des Körpers war (27). Das ist kein Zufall und wir müssen das genauer diskutieren.

2.1 Ableitungskoordinate

Zunächst bemerken wir, dass die Geschwindigkeit in (27 ) sowohl positiv als auch negativ sein kann. Die Geschwindigkeit ist nämlich für t positiv< 2, обращается в нуль при t = 2 и становится отрицательной при t > 2.

Was bedeutet das? Ganz einfach: Wir haben es nicht mit dem Absolutwert der Geschwindigkeit zu tun, sondern mit der Projektion vx des Geschwindigkeitsvektors auf die X-Achse, daher wäre statt (27) richtiger zu schreiben:

Wenn Sie vergessen haben, was die Projektion eines Vektors auf eine Achse ist, lesen Sie den entsprechenden Abschnitt des Artikels ¾ Vektoren in der Physik¿. Wir erinnern hier nur daran, dass das Vorzeichen der Projektion vx den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeitsrichtung und Richtung der X-Achse widerspiegelt:

vx > 0 , der Körper bewegt sich in Richtung der X-Achse; vx< 0 , тело движется против оси X.

(Beispiel: vx = 3 m/s bedeutet, dass sich der Körper mit einer Geschwindigkeit von 3 m/s entgegen der X-Achse bewegt.)

Daher haben wir in unserem Beispiel (31 ) folgendes Bewegungsbild: Bei t< 2 тело движется в положительном направлении оси X и постепенно замедляется; при t = 0 тело останавливается; при t >2 Der beschleunigte Körper bewegt sich in negativer Richtung der x-Achse.

Nehmen wir an, dass die Geschwindigkeit des Körpers im Betrag gleich v ist. Es gibt zwei Fälle von Bewegungsrichtung.

1. Bewegt sich der Körper in positiver Richtung der X-Achse, so ist eine kleine Änderung der Koordinate dx positiv und gleich dem vom Körper in der Zeit zurückgelegten Weg dt. Deshalb

x = dx dt = v:

2. Bewegt sich der Körper in negativer Richtung der x-Achse, so ist dx< 0. Путь за время dt равен dx, поэтому dx=dt = v или

x = dx dt = v:

Beachten Sie nun, dass im ersten Fall vx = v und im zweiten Fall vx = v. Somit werden beide Fälle zu einer Formel zusammengefasst:

und wir kommen zur wichtigsten Tatsache: Die Ableitung der Koordinate des Körpers ist gleich der Projektion der Geschwindigkeit des Körpers auf die gegebene Achse.

Es ist leicht zu sehen, dass das Zeichen der zunehmenden (abnehmenden) Funktion funktioniert. Nämlich:

x > 0) vx > 0) der Körper bewegt sich in Richtung der X-Achse) die x-Koordinate steigt; x< 0) vx < 0) тело двигается против оси X) координата x уменьшается:

2.2 Beschleunigung

Die Geschwindigkeit eines Körpers charakterisiert die Änderungsrate seiner Koordinaten. Die Geschwindigkeit kann sich aber auch langsamer oder schneller ändern. Ein Merkmal der Geschwindigkeitsänderungsrate ist eine physikalische Größe, die als Beschleunigung bezeichnet wird.

Beispielsweise steige die Geschwindigkeit eines Autos bei gleichmäßiger Beschleunigung von v0 = 2 m/s auf v = 14 m/s in der Zeit t = 3 s. Die Beschleunigung des Autos wird nach folgender Formel berechnet:

Somit erhöht sich die Geschwindigkeit des Autos in einer Sekunde um 4 m/s.

Und wie groß ist die Beschleunigung, wenn die Geschwindigkeit dagegen in der gleichen Zeit t = 3 s von v0 = 14 m/s auf v = 2 m/s abnimmt? Dann erhalten wir nach Formel (33):

Wie wir sehen, nimmt die Geschwindigkeit in einer Sekunde um 4 m / s ab.

Kann man von Beschleunigung sprechen, wenn die Geschwindigkeit ungleichmäßig variiert? Natürlich ist es möglich, aber es wird nur eine momentane Beschleunigung sein, die auch von der Zeit abhängt. Das Argumentationsschema ist Ihnen bereits bekannt: In der Formel (33) nehmen wir statt des Zeitintervalls t ein kleines Intervall dt, statt der Differenz v v0 nehmen wir das Inkrement dv der Geschwindigkeit über der Zeit dt, und as Als Ergebnis erhalten wir:

Es stellt sich also heraus, dass die Beschleunigung eine Ableitung der Geschwindigkeit ist.

Formel (34 ) beschreibt jedoch nicht alle Situationen, die in der Mechanik vorkommen. Bewegt man sich zum Beispiel gleichförmig entlang eines Kreises, ändert sich die Geschwindigkeit des Körpers im absoluten Wert nicht, und gemäß (34) hätten wir a = v = 0 erhalten. Aber Sie wissen ganz genau, dass der Körper eine Beschleunigung hat, sie ist auf das Zentrum des Kreises gerichtet und wird zentripetal genannt. Daher muss Formel (34) modifiziert werden.

Diese Modifikation hängt damit zusammen, dass die Beschleunigung eigentlich ein Vektor ist. Es stellt sich heraus, dass der Beschleunigungsvektor die Richtung der Geschwindigkeitsänderung des Körpers anzeigt. Was das bedeutet, werden wir nun anhand einfacher Beispiele herausfinden.

Lassen Sie den Körper sich entlang der X-Achse bewegen.Betrachten wir zwei Fälle der Beschleunigungsrichtung: entlang der X-Achse bzw. gegen die X-Achse.

1. Der Beschleunigungsvektor ~a ist mit der X-Achse gleichgerichtet (Abb. achtzehn). Die Beschleunigungsprojektion auf die X-Achse ist positiv: ax > 0.

Reis. 18. Axt > 0

BEI In diesem Fall ändert sich die Geschwindigkeit in positiver Richtung der X-Achse, nämlich:

Bewegt sich der Körper nach rechts (vx > 0), dann beschleunigt er: Die Modulo-Geschwindigkeit des Körpers steigt. In diesem Fall erhöht sich auch die Geschwindigkeitsprojektion vx.

Bewegt sich der Körper nach links (vx< 0), то оно тормозит: скорость тела по модулю уменьшается. Но обратите внимание, что проекция скорости vx , будучи отрицательной, при этом увеличивается.

Wenn also ax > 0, dann steigt die Projektion der Geschwindigkeit vx unabhängig davon, ob

in welche Richtung sich der Körper bewegt.

2. Der Beschleunigungsvektor ~a ist der X-Achse entgegengerichtet (Abb. 19). Die Beschleunigungsprojektion auf die X-Achse ist negativ: ax< 0.

Reis. 19.ax< 0

BEI In diesem Fall ändert sich die Geschwindigkeit in negativer Richtung der X-Achse, nämlich:

Bewegt sich der Körper nach rechts (vx > 0), dann verlangsamt er sich: Die Geschwindigkeit des Körpers modulo nimmt ab. Auch die Geschwindigkeitsprojektion vx nimmt in diesem Fall ab.

Bewegt sich der Körper nach links (vx< 0), то оно разгоняется: скорость тела по модулю увеличивается. Но проекция скорости vx , будучи отрицательной, при этом уменьшается.

Also wenn Axt< 0, то проекция скорости vx убывает, и опять-таки вне зависимости от того, в каком направлении движется тело.

Der in diesen Beispielen gefundene Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Beschleunigungsprojektion ax und der Zunahme (Abnahme) der Geschwindigkeitsprojektion vx führt uns zu der gewünschten Modifikation der Formel (34):

Beispiel. Kommen wir zurück zum Beispiel (26):

x = 1 + 12t 3t2

(Koordinate wird in Metern gemessen, Zeit in Sekunden). Durch zweimaliges Differenzieren nacheinander erhalten wir:

vx=x=126t;

ax=vx=6:

Wie Sie sehen können, ist die Beschleunigung modulo konstant und gleich 6 m/s2. Gerichtete Beschleunigung entgegen der X-Achse.

Das obige Beispiel ist ein Fall einer gleichförmig beschleunigten Bewegung, bei der Betrag und Richtung der Beschleunigung unverändert sind (oder kurz ~a = const). Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung ist eine der wichtigsten und am häufigsten anzutreffenden Bewegungsarten in der Mechanik.

Aus diesem Beispiel ist leicht zu verstehen, dass bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung die Geschwindigkeitsprojektion eine lineare Funktion der Zeit und die Koordinate eine quadratische Funktion ist.

Beispiel. Betrachten Sie einen exotischeren Fall:

x = 2 + 3t 4t2 + 5t3 .

Bisher haben wir den Begriff der Ableitung mit der geometrischen Darstellung des Graphen einer Funktion in Verbindung gebracht. Es wäre jedoch ein grober Fehler, die Rolle des Begriffs der Ableitung nur auf das Problem der Bestimmung der Steigung der Tangente an eine gegebene Kurve zu beschränken. Eine noch wichtigere Aufgabe aus wissenschaftlicher Sicht ist die Berechnung der Änderungsgeschwindigkeit beliebiger Größen f(t), sich mit der Zeit ändernd t. Von dieser Seite aus näherte sich Newton der Differentialrechnung. Insbesondere versuchte Newton, das Phänomen der Geschwindigkeit zu analysieren, indem er die Zeit und den Ort eines sich bewegenden Teilchens als Variablen betrachtete (nach Newton „fließend“). Wenn sich ein bestimmtes Teilchen entlang der x-Achse bewegt, dann ist seine Bewegung vollständig bestimmt, da die Funktion gegeben ist x = f(t), die die Position des Teilchens x zu jedem Zeitpunkt t angibt. Die „gleichförmige Bewegung“ mit konstanter Geschwindigkeit b in der x-Achse wird durch eine lineare Funktion bestimmt x = a + bt, wobei a die Position des Teilchens im Anfangsmoment ist (z t = 0).

Die Bewegung eines Teilchens auf einer Ebene wird bereits durch zwei Funktionen beschrieben

x = f(t), y = g(t),

die seine Koordinaten als Funktion der Zeit definieren. Insbesondere zwei lineare Funktionen entsprechen einer gleichförmigen Bewegung

x = a + bt, y = c + dt,

wobei b und d die beiden "Komponenten" der konstanten Geschwindigkeit sind und a und c die Koordinaten der Anfangsposition des Teilchens (at t = 0); Die Flugbahn des Teilchens ist eine gerade Linie, deren Gleichung lautet

(x - a) d - (y - c) b = 0

erhält man durch Eliminieren von t aus den beiden obigen Beziehungen.

Bewegt sich ein Teilchen in der senkrechten Ebene x, y allein unter der Wirkung der Schwerkraft, so wird seine Bewegung (dies wird in der Elementarphysik bewiesen) durch zwei Gleichungen bestimmt

wo A B C D sind Konstanten, die vom Zustand des Teilchens im Anfangsmoment abhängen, und g ist die Erdbeschleunigung, die ungefähr 9,81 beträgt, wenn die Zeit in Sekunden und die Entfernung in Metern gemessen wird. Die Bewegungsbahn, die durch Eliminieren von t aus diesen beiden Gleichungen erhalten wird, ist eine Parabel

Wenn nur b≠0; andernfalls ist die Trajektorie ein Segment der vertikalen Achse.

Wenn das Teilchen gezwungen wird, sich entlang einer bestimmten Kurve zu bewegen (so wie sich ein Zug auf Schienen bewegt), dann kann seine Bewegung durch die Funktion s (t) (eine Funktion der Zeit t) bestimmt werden, die gleich der Länge des berechneten Bogens s ist entlang der gegebenen Kurve von einem Anfangspunkt Р 0 bis zur Position des Teilchens am Punkt P zur Zeit t. Zum Beispiel, wenn wir über einen Einheitskreis sprechen x2 + y2 = 1, dann die Funktion s = ct bestimmt auf diesem Kreis eine gleichförmige Drehbewegung mit einer Geschwindigkeit Mit.

* Eine Übung. Zeichnen Sie Trajektorien von ebenen Bewegungen, die durch die Gleichungen gegeben sind: 1) x \u003d Sünde t, y \u003d Kosten t; 2) x = sin 2t, y = cos 3t; 3) x \u003d Sünde 2t, y \u003d 2 Sünde 3t; 4) in der oben beschriebenen Parabelbewegung die Anfangsposition des Teilchens (bei t = 0) im Koordinatenursprung annehmen und annehmen b>0, d>0. Finden Sie die Koordinaten des höchsten Punktes der Flugbahn. Ermitteln Sie die Zeit t und den Wert x, die dem zweiten Schnittpunkt der Trajektorie mit der x-Achse entsprechen.

Newtons erstes Ziel war es, die Geschwindigkeit eines Teilchens zu bestimmen, das sich ungleichmäßig bewegt. Betrachten wir der Einfachheit halber die Bewegung eines Teilchens entlang einer geraden Linie, die durch die Funktion gegeben ist x = f(t). Wenn die Bewegung gleichförmig wäre, d. h. mit einer konstanten Geschwindigkeit ausgeführt würde, dann könnte diese Geschwindigkeit gefunden werden, indem man zwei Zeitpunkte t und t 1 und die entsprechenden Positionen der Teilchen nimmt f(t) und f(t1) und Beziehung herstellen

Wenn zum Beispiel t in Stunden und x in Kilometern gemessen wird, dann t 1 - t \u003d 1 Unterschied x 1 - x wird die Anzahl der in 1 Stunde zurückgelegten Kilometer sein, und v- Geschwindigkeit (in Kilometern pro Stunde). Wenn sie sagen, dass die Geschwindigkeit ein konstanter Wert ist, meinen sie nur das Differenzverhältnis

ändert sich für keine Werte von t und t 1 . Ist die Bewegung aber ungleichmäßig (was z. B. der Fall ist, wenn sich ein Körper im freien Fall befindet, dessen Geschwindigkeit beim Fallen zunimmt), dann gibt Beziehung (3) nicht den Wert der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t an , sondern stellt das dar, was allgemein als Durchschnittsgeschwindigkeit in dem Zeitintervall von t bis t 1 bezeichnet wird. Geschwindigkeit zu bekommen zur Zeit t, müssen Sie das Limit berechnen Durchschnittsgeschwindigkeit da t 1 zu t tendiert. Daher definieren wir nach Newton die Geschwindigkeit wie folgt:

Mit anderen Worten, die Geschwindigkeit ist die Ableitung des zurückgelegten Weges (der Teilchenkoordinaten auf der geraden Linie) in Bezug auf die Zeit oder die „augenblickliche Änderungsrate“ des Weges in Bezug auf die Zeit – im Gegensatz zu Mitte die durch Formel (3) bestimmte Änderungsrate.

Die Änderungsrate der Geschwindigkeit selbst genannt Beschleunigung. Beschleunigung ist nur eine Ableitung einer Ableitung; es wird normalerweise mit dem Symbol f "(t) bezeichnet und heißt zweite Ableitung aus der Funktion f(t).

Das eben befolgte Verfahren ist in der Mathematik so gebräuchlich, dass für die Größen ε und x eine spezielle Schreibweise erfunden wurde: ε wird mit ∆t und x mit ∆s bezeichnet. Der Wert von Δt bedeutet "kleine Zusätze zu t", und es versteht sich, dass diese Zusätze kleiner gemacht werden können. Das Symbol ∆ bedeutet auf keinen Fall eine Multiplikation mit irgendeinem Wert, genauso wie sin θ nicht s i n 0 bedeutet. Dies ist nur eine Ergänzung der Zeit, wobei das Symbol ∆ uns an ihren besonderen Charakter erinnert. Nun, wenn ∆ kein Faktor ist, dann kann es nicht in Bezug auf ∆s/∆t reduziert werden. Es ist wie im Ausdruck sin θ/sin 2θ, alle Buchstaben abzuschneiden und 1/2 zu erhalten. In diesen neuen Notationen ist die Geschwindigkeit gleich der Grenze des Verhältnisses ∆s/∆t, wenn ∆t gegen Null geht, d.h.

Dies ist im Wesentlichen Formel (8.3), aber jetzt ist klarer, dass sich hier alles ändert, und außerdem erinnert es Sie genau daran, welche Größen sich ändern.
Es gibt ein anderes Gesetz, das mit guter Genauigkeit gilt. Sie besagt: Die Abstandsänderung ist gleich der Geschwindigkeit multipliziert mit dem Zeitintervall, in dem diese Änderung aufgetreten ist, also ∆s = υ∆t. Diese Regel gilt streng nur dann, wenn sich die Drehzahl während des Intervalls ∆t nicht ändert, und dies geschieht im Allgemeinen nur, wenn ∆t hinreichend klein ist. In solchen Fällen schreibt man meist ds = υdt, wobei dt das Zeitintervall ∆t bedeutet, sofern es beliebig klein ist. Wenn das Intervall ∆t groß genug ist, dann kann sich die Geschwindigkeit während dieser Zeit ändern und der Ausdruck ∆s = υ∆t ist bereits ungefähr. Wenn wir jedoch dt schreiben, dann impliziert dies, dass das Zeitintervall unendlich klein ist, und in diesem Sinne ist der Ausdruck ds = υdt exakt. In der neuen Notation hat der Ausdruck (8.5) die Form

Die Größe ds/dt wird „Ableitung von s nach t“ genannt (ein solcher Name erinnert an das, was sich ändert), und der komplexe Prozess, die Ableitung zu finden, wird auch genannt; Unterscheidung. Wenn ds und dt getrennt auftreten und nicht als Verhältnis ds/dt, dann nennt man sie Differenzen. Um Sie besser mit der neuen Terminologie vertraut zu machen, werde ich auch sagen, dass wir im vorherigen Absatz die Ableitung der Funktion 5t 2 oder einfach die Ableitung von 5t 2 gefunden haben. Es stellte sich heraus, dass es gleich 10 t war. Je mehr Sie sich an die neuen Wörter gewöhnen, desto klarer wird Ihnen der Gedanke selbst. Lassen Sie uns zur Übung die Ableitung einer komplexeren Funktion finden. Betrachten Sie den Ausdruck s = At ​​​​3 + Bt + C, der die Bewegung eines Punktes beschreiben kann. Die Buchstaben A, B, C bezeichnen ebenso wie in der üblichen quadratischen Gleichung konstante Zahlen. Wir müssen die durch diese Formel beschriebene Bewegungsgeschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt t finden. Betrachten Sie dazu den Moment t + ∆t, addieren Sie ∆s zu s und finden Sie heraus, wie ∆s durch ∆t ausgedrückt wird. Weil die

Aber wir brauchen nicht den Wert von ∆s selbst, sondern das Verhältnis ∆s/∆t. Nach Division durch ∆t erhalten wir den Ausdruck

die, nachdem ∆t gegen Null tendiert, zu werden

Dies ist der Vorgang des Ableitens oder Differenzierens von Funktionen. Tatsächlich ist es etwas einfacher, als es auf den ersten Blick scheint. Beachten Sie, dass, wenn es in Erweiterungen wie den vorherigen Terme gibt, die proportional zu (∆t) 2 oder (∆t) 3 oder noch höheren Potenzen sind, diese sofort gelöscht werden können, da sie immer noch verschwinden, wenn wir am Ende ∆t werden gegen Null tendieren. Nach einer kleinen Schulung sehen Sie sofort, was übrig bleiben muss und was sofort entsorgt werden sollte. Es gibt viele Regeln und Formeln zur Unterscheidung verschiedene Sorten Funktionen. Sie können sie entweder auswendig lernen oder spezielle Tabellen verwenden. Eine kleine Liste solcher Regeln ist in der Tabelle angegeben. 8.3.