Арксин, арккосин - шинж чанар, график, томъёо. Арксинус, арккосинус - шинж чанар, график, томьёо Урвуу тригонометрийн функц бүхий томьёо

Урвуу тригонометрийн функцууднь арксин, арккосин, арктангенс, арккотангенс юм.

Эхлээд тодорхойлолтуудыг өгье.

арксинЭсвэл энэ нь синус нь a тоотой тэнцүү сегментэд хамаарах ийм өнцөг гэж хэлж болно.

Нуман косинус a тоог ийм тоо гэж нэрлэдэг

Арктангенс a тоог ийм тоо гэж нэрлэдэг

Нуман тангенс a тоог ийм тоо гэж нэрлэдэг

Бидний хувьд эдгээр дөрвөн шинэ функц болох урвуу тригонометрийн талаар дэлгэрэнгүй ярилцъя.

Бид аль хэдийн уулзсан гэдгийг санаарай.

Жишээлбэл, a-ийн арифметик квадрат язгуур нь сөрөг бус тоо бөгөөд квадрат нь a.

b тооны а суурийн логарифм нь ийм c тоо юм

Хаана

Математикчид яагаад шинэ функцийг "зохион бүтээх" ёстой байсныг бид ойлгож байна. Жишээлбэл, тэгшитгэлийн шийдлүүд нь тусгай арифметик квадрат язгуур тэмдэггүйгээр тэдгээрийг бичиж чадахгүй.

Ийм тэгшитгэлийн шийдийг бичихийн тулд логарифмын тухай ойлголт зайлшгүй шаардлагатай болж хувирав: Энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь иррационал тоо бөгөөд 7-г авахын тулд 2-ыг өсгөх ёстой илтгэгч юм.

Тригонометрийн тэгшитгэлийн хувьд ч мөн адил. Жишээлбэл, бид тэгшитгэлийг шийдэхийг хүсч байна

Түүний шийдэл нь тригонометрийн тойрог дээрх цэгүүдтэй тохирч байгаа нь тодорхой бөгөөд тэдгээрийн ординат нь тэнцүү бөгөөд энэ нь синусын хүснэгтийн утга биш гэдэг нь тодорхой байна. Шийдвэрүүдийг хэрхэн бичих вэ?

Энд синус нь өгөгдсөн a тоотой тэнцүү өнцгийг илэрхийлэх шинэ функцгүйгээр хийж чадахгүй. Тийм ээ, хүн бүр аль хэдийн таамагласан. Энэ бол арксинус юм.

Синус нь тэнцүү сегментийн өнцөг нь дөрөвний нэгийн нумын өнцөг юм. Тиймээс тригонометрийн тойргийн зөв цэгт тохирох тэгшитгэлийн цуврал шийдлүүд нь

Мөн бидний тэгшитгэлийн шийдлүүдийн хоёр дахь цуврал нь юм

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх талаар дэлгэрэнгүй -.

Үүнийг тодруулах шаардлагатай хэвээр байна - яагаад нумын шугамын тодорхойлолтод энэ нь сегментэд хамаарах өнцөг гэж заасан байдаг вэ?

Үнэн хэрэгтээ хязгааргүй олон өнцөг байдаг бөгөөд тэдгээрийн синус нь жишээ нь . Бид тэдгээрийн аль нэгийг нь сонгох хэрэгтэй. Бид сегмент дээр байгаа нэгийг нь сонгодог.

Тригонометрийн тойргийг хар. Та сегмент дээр булан бүр нь синусын тодорхой утгатай тохирч байгааг харж болно, зөвхөн нэг. Мөн эсрэгээр, сегментийн синусын аль ч утга нь сегмент дээрх өнцгийн нэг утгатай тохирч байна. Энэ нь сегмент дээр утгыг авах функцийг тодорхойлж болно гэсэн үг юм

Тодорхойлолтыг дахин давтъя:

a-ийн нумын синус нь тоо юм , тиймэрхүү

Тэмдэглэгээ: Арксинусыг тодорхойлох талбар нь сегмент, утгын хүрээ нь сегмент юм.

"Арксинууд баруун талд амьдардаг" гэсэн хэллэгийг санаж болно. Зөвхөн баруун талд төдийгүй сегмент дээр бид үүнийг мартаж болохгүй.

Бид функцийн графикийг зурахад бэлэн байна

Ердийнх шигээ бид хэвтээ тэнхлэг дээр x утгуудыг, босоо тэнхлэг дээр y утгыг тэмдэглэдэг.

Тиймээс x нь -1-ээс 1-ийн хооронд байна.

Эндээс y = arcsin x функцийн муж нь сегмент юм

Бид y сегментэд харьяалагддаг гэж хэлсэн. Энэ нь y = arcsin x функцийн муж нь сегмент гэсэн үг юм.

y=arcsinx функцийн график бүхэлдээ шугамаар хүрээлэгдсэн хэсэгт байрлана гэдгийг анхаарна уу.

Танихгүй функцийг зурахдаа үргэлж хүснэгтээс эхэлцгээе.

Тодорхойлолтоор тэгийн арксинус нь синус нь тэг байх сегментийн тоо юм. Энэ хэд вэ? - Энэ бол тэг гэдэг нь ойлгомжтой.

Үүний нэгэн адил, нэгийн нуман синусын синус нь нэгтэй тэнцүү сегментийн тоо юм. Энэ нь ойлгомжтой

Бид үргэлжлүүлж байна: - энэ нь сегментийн тоо бөгөөд синус нь тэнцүү байна. Тиймээ

			0
			0

Бид функцийн графикийг бүтээдэг

Функцийн шинж чанарууд

1. Тодорхойлолтын домэйн

2. Утгын хүрээ

3. , өөрөөр хэлбэл энэ функц нь сондгой байна. Түүний график нь гарал үүсэлтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байна.

4. Функц нь монотон нэмэгдэж байна. Үүний хамгийн бага утгыг - -тэй тэнцүү, хамгийн том утга нь -тэй тэнцүү байна

5. Функцийн графикууд юугаараа нийтлэг байдаг вэ? Яг л функцийн баруун салбар ба функцийн график шиг, эсвэл экспоненциал болон логарифм функцийн графиктай адил "ижил загварын дагуу хийгдсэн" гэж та бодохгүй байна уу?

Бид ердийн синус долгионоос жижиг хэсгийг хайчилж аваад босоо тэнхлэгт эргүүлээд арксинусын графикийг олж авлаа гэж төсөөлөөд үз дээ.

Энэ интервал дээрх функцын хувьд аргументийн утгууд байдаг бол нумын синусын хувьд функцийн утгууд байх болно. Ийм л байх ёстой! Эцсийн эцэст, синус ба арксинус нь харилцан урвуу функцууд юм. Харилцан урвуу функцийн хосуудын бусад жишээ нь for and , болон экспоненциал болон логарифм функцууд юм.

Харилцан урвуу функцүүдийн графикууд шулуун шугамтай харьцуулахад тэгш хэмтэй гэдгийг санаарай.

Үүнтэй адилаар бид функцийг тодорхойлдог.Зөвхөн бидэнд хэрэгтэй сегмент бол өнцгийн утга тус бүр өөрийн косинусын утгатай тохирч байх бөгөөд косинусыг мэдсэнээр бид өнцгийг өвөрмөц байдлаар олох боломжтой. Бидэнд зүсэлт хэрэгтэй

a нумын косинус нь тоо юм , ийм

Үүнийг санахад хялбар байдаг: "нумын косинусууд дээрээс амьдардаг" бөгөөд зөвхөн дээрээс биш, харин сегмент дээр байрладаг

Тэмдэглэгээ: Нумын косинусын тодорхойлох талбар - сегмент Утгын хүрээ - сегмент

Косинусын утга тус бүрийг зөвхөн нэг удаа авдаг тул сегментийг сонгосон нь ойлгомжтой. Өөрөөр хэлбэл, -1-ээс 1 хүртэлх косинусын утга тус бүр интервалаас нэг өнцгийн утгатай тохирч байна

Арккосин нь тэгш, сондгой функц биш юм. Үүний оронд бид дараах тодорхой хамаарлыг ашиглаж болно.

Функцийн графикийг зурцгаая

Функцийн нэг хэсэг нь монотон, өөрөөр хэлбэл утгуудаа яг нэг удаа авдаг.

Хэсэг сонгоцгооё. Энэ сегмент дээр функц нь монотоноор буурч, өөрөөр хэлбэл олонлогуудын хоорондын захидал харилцаа нэгээс нэг юм. X утга бүр өөрийн гэсэн у утгатай байна. Энэ сегмент дээр косинустай урвуу функц, өөрөөр хэлбэл y \u003d arccosx функц байна.

Нумын косинусын тодорхойлолтыг ашиглан хүснэгтийг бөглөнө үү.

Интервалд хамаарах х тооны арккосинус нь интервалд хамаарах y тоо байх болно

Тиймээс, учир нь;

Учир нь;

Учир нь,

Учир нь,

			0
					0

Арккосинын схем энд байна.

Функцийн шинж чанарууд

1. Тодорхойлолтын домэйн

2. Утгын хүрээ

Энэ бол ерөнхий функц юм - энэ нь тэгш, сондгой биш юм.

4. Функц нь хатуу буурч байна. y \u003d arccosx функц нь -тэй тэнцүү хамгийн том утгыг, тэгтэй тэнцүү хамгийн бага утгыг -д авна.

5. Функцууд ба харилцан урвуу.

Дараагийнх нь арктангенс ба арккотангенс юм.

a-ийн нумын тангенс нь тоо юм , ийм

Тэмдэглэл: . Нумын шүргэгчийг тодорхойлох талбар нь интервал, утгын хүрээ нь интервал юм.

Нумын тангенсийн тодорхойлолтод интервалын төгсгөлүүд - цэгүүдийг яагаад хассан бэ? Мэдээжийн хэрэг, эдгээр цэгүүдийн шүргэгч тодорхойлогдоогүй байна. Эдгээр өнцгийн тангенстай тэнцэх тоо байхгүй.

Нумын тангенсыг зуръя. Тодорхойлолтоор бол х тооны нуман тангенс нь y интервалд хамаарах тоо юм.

Графикийг хэрхэн бүтээх нь аль хэдийн тодорхой болсон. Арктангенс нь шүргэгчийн урвуу функц тул бид дараах байдлаар ажиллана.

Бид функцийн графикийн ийм хэсгийг сонгодог бөгөөд х ба у хоёрын хоорондын харилцан хамаарал нь нэгээс нэг юм. Энэ нь C интервал юм. Энэ хэсэгт функц нь -ээс хүртэлх утгыг авна

Дараа нь урвуу функц, өөрөөр хэлбэл функц, тодорхойлолтын муж нь бүхэл тоон шугам байх ба утгын муж нь интервал юм.

гэсэн үг,

гэсэн үг,

гэсэн үг,

Гэхдээ x хязгааргүй том бол яах вэ? Өөрөөр хэлбэл, энэ функц нь x дээр нэмэх нь хязгааргүй байх хандлагатай байхад хэрхэн ажиллах вэ?

Бид өөрөөсөө асуулт асууж болно: аль тооны интервал дахь шүргэгчийн утга хязгааргүй байх хандлагатай байдаг вэ? -Мэдээж, энэ

Тиймээс, x-ийн хязгааргүй том утгуудын хувьд нумын тангенсийн график хэвтээ асимптот руу ойртоно.

Үүний нэгэн адил, x хасах хязгааргүй байх хандлагатай тул нумын тангенсийн график хэвтээ асимптот руу ойртоно.

Зураг дээр - функцийн график

Функцийн шинж чанарууд

1. Тодорхойлолтын домэйн

2. Утгын хүрээ

3. Функц нь сондгой.

4. Функц нь хатуу нэмэгдэж байна.

6. Функцууд ба харилцан урвуу байдаг - мэдээжийн хэрэг, функцийг интервал дээр авч үзэх үед

Үүний нэгэн адил бид нумын котангенсын функцийг тодорхойлж, графикийг нь зурна.

a-ийн нумын тангенс нь тоо юм , ийм

Функцийн график:

Функцийн шинж чанарууд

1. Тодорхойлолтын домэйн

2. Утгын хүрээ

3. Функц нь ерөнхий хэлбэртэй, өөрөөр хэлбэл тэгш, сондгой ч биш.

4. Функц нь хатуу буурч байна.

5. Өгөгдсөн функцийн шууд ба - хэвтээ асимптотууд.

6. Функц ба интервал дээр авч үзвэл харилцан урвуу байна

Урвуу тригонометрийн функцууд нь тригонометрийн функцүүдийн урвуу утгатай математик функцууд юм.

y=arcsin(x) функц

α тооны арксинус нь синус нь α-тай тэнцүү [-π/2; π/2] интервалаас α тоо юм.
Функцийн график
[-π / 2; π / 2] интервал дээрх y \u003d sin⁡ (x) функц нь хатуу нэмэгдэж, тасралтгүй байна; тиймээс энэ нь хатуу нэмэгдэж, тасралтгүй үргэлжлэх урвуу функцтэй.
y= sin⁡(x) функцийн урвуу функцийг x ∈[-π/2;π/2] бол арксинус гэж нэрлэх ба y=arcsin(x), энд x∈[-1;1 ].
Тиймээс урвуу функцийн тодорхойлолтын дагуу арксинусын тодорхойлолтын муж нь [-1; 1] сегмент, утгын багц нь [-π/2; π/2] сегмент юм.
y=arcsin(x) функцийн график нь x ∈[-1;1]. нь y= sin(⁡x) функцийн графиктай тэгш хэмтэй, x∈[-π/2;π гэдгийг анхаарна уу. /2], координатын өнцгийн 1 ба 3-р улирлын биссектрисын хувьд.

y=arcsin(x) функцийн хамрах хүрээ.

Жишээ №1.

arcsin(1/2)-г олох уу?

arcsin(x) функцийн муж нь [-π/2;π/2] интервалд хамаарах тул зөвхөн π/6 утга тохиромжтой.Иймд arcsin(1/2) = π/6.
Хариулт: π/6

Жишээ №2.
arcsin(-(√3)/2) олох уу?

arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2] мужид зөвхөн -π/3 утга тохирно.Иймд arcsin(-(√3)/2) =- π/3.

y=arccos(x) функц

α тооны арккосинус нь косинус нь α-тай тэнцүү интервалаас α тоо юм.

Функцийн график

Интервал дээрх y= cos(⁡x) функц нь хатуу бууралттай ба тасралтгүй; тиймээс энэ нь хатуу буурдаг, үргэлжилдэг урвуу функцтэй.
x ∈ y= cos⁡x функцийн урвуу функцийг дуудна нумын косинус y=arccos(x) гэж тэмдэглэсэн бөгөөд энд x ∈[-1;1].
Тиймээс урвуу функцийн тодорхойлолтын дагуу арккосиныг тодорхойлох муж нь [-1; 1] сегмент, утгын багц нь сегмент юм.
y=arccos(x) функцийн график нь x ∈[-1;1] нь y= cos(⁡x) функцийн графиктай тэгш хэмтэй байна, энд x ∈, биссектрисатай харьцаж байгааг анхаарна уу. эхний ба гуравдугаар улирлын координат өнцөг.

y=arccos(x) функцийн хамрах хүрээ.

Жишээ №3.

Arccos(1/2) олох уу?

Arccos(x)-ийн муж x∈ тул зөвхөн π/3 утга тохиромжтой.Иймд arccos(1/2) =π/3.
Жишээ дугаар 4.
arccos(-(√2)/2) олох уу?

arccos(x) функцийн муж нь интервалд хамаарах тул зөвхөн 3π/4 утга тохиромжтой.Иймд arccos(-(√2)/2) =3π/4.

Хариулт: 3π/4

y=arctg(x) функц

α тооны нуман тангенс нь [-π/2; π/2] интервалаас авсан α тоо бөгөөд тангенс нь α-тай тэнцүү байна.

Функцийн график

Шүргэх функц нь тасралтгүй бөгөөд интервал дээр хатуу нэмэгддэг (-π/2; π/2); тиймээс энэ нь тасралтгүй бөгөөд хатуу өсөх урвуу функцтэй.
y= tg⁡(x) функцийн урвуу функц, энд x∈(-π/2;π/2); -ийг артангенс гэж нэрлээд y=arctg(x) гэж тэмдэглэнэ, энд x∈R.
Тиймээс урвуу функцийн тодорхойлолтын дагуу артангенсийн тодорхойлолтын муж нь интервал (-∞;+∞), утгын багц нь интервал юм.
(-π/2;π/2).
y=arctg(x) функцийн график нь x∈R нь y=tg⁡x функцийн графиктай тэгш хэмтэй байдгийг анхаарна уу, энд x ∈ (-π/2;π/2) байна. эхний ба гуравдугаар улирлын координатын өнцгийн биссектриса.

y=arctg(x) функцийн хамрах хүрээ.

Жишээ №5?

arctg((√3)/3)-г ол.

arctan(x) x ∈(-π/2;π/2) мужид зөвхөн π/6 утга тохиромжтой.Иймд arctg((√3)/3) =π/6.
Жишээ №6.
arctg(-1)-г олох уу?

arctg(x) x ∈(-π/2;π/2) мужид зөвхөн -π/4 утга тохирно.Иймд arctg(-1) = - π/4.

y=arctg(x) функц

α тооны нуман тангенс нь котангенс нь α-тай тэнцүү (0; π) интервалаас α тоо юм.

Функцийн график

(0;π) интервал дээр котангентын функц хатуу буурдаг; үүнээс гадна энэ интервалын цэг бүрт тасралтгүй үргэлжилдэг; тиймээс (0;π) интервал дээр энэ функц нь хатуу бууралттай, тасралтгүй урвуу функцтэй байна.
y=ctg(x) функцийн урвуу функцийг x ∈(0;π) нуман котангенс гэж нэрлэх ба y=arcctg(x), энд x∈R гэж тэмдэглэнэ.
Тиймээс урвуу функцийн тодорхойлолтын дагуу нумын шүргэгчийг тодорхойлох муж нь R байх ба утгын олонлог нь биссектрисатай харьцуулахад интервал (0; π). ;π байх болно. эхний болон гуравдугаар улирлын координатын өнцөг.

y=arcctg(x) функцийн хамрах хүрээ.

Жишээ №7.
arcctg((√3)/3)-г олох уу?

arcctg(x) x ∈(0;π) мужид зөвхөн π/3 утга тохиромжтой.Иймд arccos((√3)/3) =π/3.

Жишээ №8.
arcctg(-(√3)/3)-г олох уу?

arcctg(x) x∈(0;π) мужид зөвхөн 2π/3 утга тохиромжтой.Иймд arccos(-(√3)/3) =2π/3.

Редактор: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна

Урвуу тригонометрийн функцууд(дугуй функц, нуман функц) - тригонометрийн функцээс урвуу утгатай математик функцууд.

Эдгээр нь ихэвчлэн 6 функцийг агуулдаг:

• арксин(тэмдэг: arcsin x; arcsin xөнцөг юм нүгэлтэнцүү байна x),
• арккосин(тэмдэг: arccos x; arccos xкосинус нь тэнцүү өнцөг юм xгэх мэт),
• нуман тангенс(тэмдэг: arctg xэсвэл арктан х),
• нуман тангенс(тэмдэг: arcctg xэсвэл arccot ​​xэсвэл арккотан x),
• нуман хэлбэртэй(тэмдэг: нуман секунд x),
• арккосекант(тэмдэг: arccosec xэсвэл arccsc x).

Арксин (y = arcsin x) нь урвуу функц юм нүгэл (x = нүгэл . Өөрөөр хэлбэл, өнцгийг утгаараа буцаана нүгэл.

Нуман косинус (y = arccos x) нь урвуу функц юм cos (x = cos y cos.

Арктангенс (у = арктан х) нь урвуу функц юм тг (x = tgy), тодорхойлолтын домэйн болон утгын багцтай . Өөрөөр хэлбэл, өнцгийг утгаараа буцаана тг.

Нуман тангенс (y = acctg x) нь урвуу функц юм ctg (x = ctg y), тодорхойлолтын домэйн ба утгын багцтай. Өөрөөр хэлбэл, өнцгийг утгаараа буцаана ctg.

нуман секунд- arcsecant, өнцгийг секантын утгаараа буцаана.

арккосек- arccosecant, косекантын утгаар өнцгийг буцаана.

Урвуу тригонометрийн функц нь заасан цэг дээр тодорхойлогдоогүй тохиолдолд түүний утга үр дүнгийн хүснэгтэд харагдахгүй болно. Функцүүд нуман секундболон арккосек(-1,1) сегмент дээр тодорхойлогдоогүй, гэхдээ нумын нүгэлболон arccosзөвхөн [-1,1] интервал дээр тодорхойлогддог.

Урвуу тригонометрийн функцийн нэр нь "ark-" угтварыг (лат. нуман бид- нуман). Энэ нь геометрийн хувьд урвуу тригонометрийн функцийн утга нь нэг буюу өөр сегменттэй тохирч буй нэгж тойргийн нумын урттай (эсвэл энэ нумын дагуух өнцөг) холбоотой байдагтай холбоотой юм.

Заримдаа гадаадын уран зохиол, шинжлэх ухаан / инженерийн тооцоолуур зэрэгт тэмдэглэгээг ашигладаг гэм −1, cos -1арксин, арккосин гэх мэтийн хувьд энэ нь бүрэн зөв биш гэж тооцогддог, учир нь функцийг хүчирхэг болгохтой андуурч болзошгүй −1 (« −1 » (эхний хүчийг хасах) функцийг тодорхойлно x=f-1(y), функцийн урвуу y=f(x)).

Урвуу тригонометрийн функцүүдийн үндсэн хамаарал.

Энд томъёонууд хүчинтэй байх интервалд анхаарлаа хандуулах нь чухал юм.

Урвуу тригонометрийн функцтэй холбоотой томъёо.

Урвуу тригонометрийн функцын утгуудын аль нэгийг нь тэмдэглэнэ үү Арксин х, Arccos x, Арктан х, Arccot ​​xмөн тэмдэглэгээг хадгал: arcsin x, arcos x, арктан х, arccot ​​xтэдний гол үнэт зүйлсийн хувьд тэдгээрийн хоорондын харилцаа ийм харилцаагаар илэрхийлэгддэг.

sin, cos, tg, ctg функцуудыг үргэлж арксинус, арккосин, арктангенс, арккотангенс дагалддаг. Нэг нь нөгөөгийнхөө үр дагавар бөгөөд хос функцууд нь тригонометрийн илэрхийлэлтэй ажиллахад адилхан чухал юм.

Тригонометрийн функцүүдийн утгыг графикаар харуулсан нэгж тойргийн зургийг авч үзье.

Хэрэв та OA, arcos OC, arctg DE, arcctg MK нумуудыг тооцвол тэдгээр нь бүгд α өнцгийн утгатай тэнцүү байх болно. Доорх томьёо нь үндсэн тригонометрийн функцууд болон тэдгээрийн харгалзах нумуудын хоорондын хамаарлыг тусгасан болно.

Арксины шинж чанаруудын талаар илүү ихийг мэдэхийн тулд түүний функцийг авч үзэх шаардлагатай. Хуваарь координатын төвөөр дамжин өнгөрөх тэгш бус муруй хэлбэртэй байна.

Арксины шинж чанарууд:

Хэрэв бид графикуудыг харьцуулж үзвэл нүгэлболон нумын нүгэл, хоёр тригонометрийн функц нь нийтлэг хэв маягийг олох боломжтой.

Нуман косинус

a тооны Arccos нь α өнцгийн утга бөгөөд косинус нь a-тай тэнцүү байна.

Муруй y = arcos x arcsin x-ийн графикийг толин тусгах ба цорын ганц ялгаа нь OY тэнхлэгийн π/2 цэгээр дамжин өнгөрдөг.

Арккосин функцийг илүү нарийвчлан авч үзье.

1. Функц нь [-1; нэг].
2. ODZ for arccos - .
3. График нь бүхэлдээ I ба II хэсэгт байрладаг бөгөөд функц нь өөрөө тэгш, сондгой биш юм.
4. x = 1-ийн хувьд Y = 0.
5. Муруй нь бүхэл бүтэн уртын дагуу буурдаг. Нумын косинусын зарим шинж чанарууд нь косинусын функцтэй ижил байдаг.

Нумын косинусын зарим шинж чанарууд нь косинусын функцтэй ижил байдаг.

Сургуулийн хүүхдүүдэд "нуман хаалга" -ыг ийм "нарийвчилсан" судлах нь илүүц мэт санагдаж магадгүй юм. Үгүй бол зарим энгийн төрөл Даалгавруудыг ашиглахоюутнуудыг төөрөгдүүлж болно.

Дасгал 1.Зурагт үзүүлсэн функцуудыг зааж өгнө үү.

Хариулт:будаа. 1 - 4, зураг 2 - 1.

Энэ жишээнд жижиг зүйлд онцгой анхаарал хандуулдаг. Ихэвчлэн оюутнууд график байгуулах, функцүүдийн харагдах байдалд маш хайхрамжгүй ханддаг. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв үүнийг тооцоолсон цэгүүдээс үргэлж барьж болох юм бол яагаад муруй хэлбэрийг цээжлэх ёстой гэж. Туршилтын нөхцөлд энгийн даалгаврыг зурахад зарцуулсан цаг нь илүү төвөгтэй ажлуудыг шийдвэрлэхэд шаардагдах болно гэдгийг бүү мартаарай.

Арктангенс

Arctg a тоо нь α өнцгийн утга бөгөөд түүний шүргэгч нь a-тай тэнцүү байна.

Хэрэв бид нумын тангенсийн графикийг авч үзвэл дараах шинж чанаруудыг ялгаж чадна.

1. График нь хязгааргүй бөгөөд интервал дээр тодорхойлогддог (- ∞; + ∞).
2. Арктангенс нь сондгой функц тул арктан (- x) = - арктан х.
3. x = 0-ийн хувьд Y = 0.
4. Муруй нь тодорхойлолтын бүх талбарт нэмэгддэг.

tg x ба arctg x-ийн харьцуулсан шинжилгээг хүснэгт хэлбэрээр товч өгье.

Нуман тангенс

a тооны Arcctg - (0; π) интервалаас α-ийн ийм утгыг авдаг бөгөөд котангенс нь a-тай тэнцүү байна.

Нумын котангенсийн функцийн шинж чанарууд:

1. Функцийн тодорхойлолтын интервал нь хязгааргүй юм.
2. Зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээ нь интервал (0; π) юм.
3. F(x) нь тэгш, сондгой ч биш.
4. Түүний уртын туршид функцийн график багасдаг.

ctg x ба arctg x-ийг харьцуулах нь маш энгийн бөгөөд та хоёр зураг зурж, муруйнуудын үйлдлийг дүрслэх хэрэгтэй.

Даалгавар 2.График ба функцийн хэлбэрийг хооронд нь холбоно уу.

Логикийн хувьд хоёр функц нэмэгдэж байгааг графикууд харуулж байна. Тиймээс хоёр зураг нь зарим arctg функцийг харуулж байна. Нумын тангенсийн шинж чанараас х = 0-ийн хувьд y=0 гэдэг нь мэдэгдэж байна.

Хариулт:будаа. 1 - 1, зураг. 2-4.

Arcsin, arcos, arctg болон arcctg гэсэн тригонометрийн ижилсэлтүүд

Өмнө нь бид нуман хаалга ба тригонометрийн үндсэн функцүүдийн хоорондын хамаарлыг аль хэдийн тодорхойлсон. Энэ хамаарлыг аргументийн синусыг арксинус, арккосиноор эсвэл эсрэгээр илэрхийлэх боломжийг олгодог хэд хэдэн томъёогоор илэрхийлж болно. Ийм таних тэмдгүүдийн талаархи мэдлэг нь тодорхой жишээнүүдийг шийдвэрлэхэд тустай байж болно.

Мөн arctg болон arcctg-ийн харьцаанууд байдаг:

Өөр нэг ашигтай хос томъёо нь ижил өнцгийн arcsin ба arcos, arcctg болон arcctg утгуудын нийлбэрийн утгыг тогтоодог.

Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Тригонометрийн даалгавруудыг нөхцөлт байдлаар дөрвөн бүлэгт хувааж болно: тодорхой илэрхийллийн тоон утгыг тооцоолох, өгөгдсөн функцийг зурах, түүний тодорхойлолтын муж буюу ODZ-ийг олох, жишээг шийдвэрлэхийн тулд аналитик хувиргалт хийх.

Эхний төрлийн ажлыг шийдвэрлэхдээ дараахь үйл ажиллагааны төлөвлөгөөг дагаж мөрдөх шаардлагатай.

Функцийн графиктай ажиллахдаа гол зүйл бол тэдгээрийн шинж чанар, муруйн харагдах байдлын талаархи мэдлэг юм. Тригонометрийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхийн тулд таних хүснэгтүүд хэрэгтэй. Оюутан хэдий чинээ олон томьёог санах тусам даалгаврын хариултыг олоход хялбар болно.

Шалгалтанд дараахь төрлийн тэгшитгэлийн хариултыг олох шаардлагатай гэж бодъё.

Хэрэв та илэрхийлэлийг зөв хувиргаж, хүссэн хэлбэрт оруулбал үүнийг шийдвэрлэх нь маш энгийн бөгөөд хурдан юм. Эхлээд arcsin x-ийг тэгшитгэлийн баруун талд шилжүүлье.

Хэрэв бид томъёог санаж байвал arcsin (sinα) = α, тэгвэл бид хоёр тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх хариултын хайлтыг багасгаж болно.

X загварт тавигдах хязгаарлалт нь дахин arcsin-ийн шинж чанараас үүдэлтэй: x-ийн хувьд ODZ [-1; нэг]. a ≠ 0 үед системийн нэг хэсэг нь x1 = 1 ба x2 = - 1/a үндэстэй квадрат тэгшитгэл болно. a = 0 байхад x нь 1-тэй тэнцүү байх болно.

Тодорхойлолт ба тэмдэглэгээ

Арксинус (y = arcsin x) нь синусын урвуу функц (x = гэмтэй -1 ≤ x ≤ 1ба утгуудын багц -π /2 ≤ y ≤ π/2.
sin(arcsin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .

Арксиныг заримдаа дараах байдлаар нэрлэдэг.
.

Арксинусын функцийн график

y = функцийн график arcsin x

Арксинусын графикийг синусын графикаас абсцисса ба ординатын тэнхлэгүүдийг сольж гаргана. Тодорхой бус байдлыг арилгахын тулд функц монотон байх интервалаар хязгаарлагдана. Энэ тодорхойлолтыг арксинусын үндсэн утга гэж нэрлэдэг.

Арккосин, аркос

Тодорхойлолт ба тэмдэглэгээ

Нуман косинус (y = arccos x) нь косинусын урвуу утга (x = cos y). Энэ нь хамрах хүрээтэй -1 ≤ x ≤ 1болон олон үнэт зүйлс 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x ;
arccos(cos x) = x .

Арккосиныг заримдаа дараах байдлаар нэрлэдэг.
.

Арккосин функцийн график

y = функцийн график arccos x

Арккосинын графикийг косинусын графикаас абсцисс болон ординатын тэнхлэгүүдийг сольж гаргана. Тодорхой бус байдлыг арилгахын тулд функц монотон байх интервалаар хязгаарлагдана. Энэ тодорхойлолтыг нумын косинусын үндсэн утга гэж нэрлэдэг.

Паритет

Arcsine функц нь сондгой:
arcsin(-x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

Арккосин функц тэгш эсвэл сондгой биш:
arccos(-x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

Шинж чанар - хэт туйлшрал, өсөлт, бууралт

Арксинус ба арккосинус функцууд нь тодорхойлолтын талбартаа тасралтгүй байдаг (тасралтгүй байдлын баталгааг үзнэ үү). Арксин ба арккосины үндсэн шинж чанарыг хүснэгтэд үзүүлэв.

	у= arcsin x	у= arccos x
Хамрах хүрээ ба тасралтгүй байдал	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Утгын хүрээ
Өсөх, уруудах	монотоноор нэмэгддэг	монотоноор буурдаг
Дээд тал нь
Доод тал
Тэг, у= 0	x= 0	x= 1
У тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд, x = 0	у= 0	у = π/ 2

Арксинус ба арккосинуудын хүснэгт

Энэ хүснэгтэд аргументийн зарим утгуудын хувьд арксин ба арккосинуудын утгыг градус, радианаар харуулав.

x	arcsin x		arccos x
	градус.	баяртай.	градус.	баяртай.
- 1	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
-	- 45°	-	135°
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Томъёо

Мөн үзнэ үү: Урвуу тригонометрийн функцүүдийн томъёог гарган авах

Нийлбэр ба ялгааны томъёо

эсвэл

болон

болон

эсвэл

болон

болон

цагт

цагт

цагт

цагт

Логарифмын илэрхийлэл, комплекс тоо

Мөн үзнэ үү: Томьёоны гарал үүсэл

Гиперболын функцүүдийн илэрхийлэл

Дериватив

;
.
Арксин ба арккосин деривативуудын гарал үүслийг үзнэ үү > > >

Дээд зэрэглэлийн деривативууд:
,
градусын олон гишүүнт хаана байна . Үүнийг дараах томъёогоор тодорхойлно.
;
;
.

Арксин ба арккосины дээд эрэмбийн деривативуудын гарал үүслийг үзнэ үү > > >

Интеграл

Бид x = орлуулалтыг хийдэг гэм t. Бид -π/ гэдгийг харгалзан хэсэг хэсгээр нэгтгэдэг. 2 ≤ t ≤ π/2, cos t ≥ 0:
.

Бид арккосиныг арксинусаар илэрхийлдэг.
.

Цуврал дахь өргөтгөл

|x|-ийн хувьд< 1 дараах задрал явагдана.
;
.

Урвуу функцууд

Арксинус ба арккосинын урвуу тал нь синус ба косинус юм.

Дараах томьёо нь тодорхойлолтын хүрээнд хүчинтэй байна.
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

Дараахь томъёо нь зөвхөн арксин ба арккосинын утгуудын багцад хүчинтэй байна.
arcsin(sin x) = xцагт
arccos(cos x) = xцагт.

Лавлагаа:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Дээд боловсролын байгууллагын инженер, оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага, Лан, 2009 он.

Мөн үзнэ үү: