x координатын эхний дериватив нь юу вэ? Координатын цаг хугацааны дериватив нь хурд юм. x'(t)=v(t) Деривативын физик утга. Физик дэх деривативын зарим хэрэглээ

Алгебр бол өгөөмөр. Тэр ихэвчлэн түүнээс асуусан зүйлээс илүү ихийг өгдөг.

Ж.Даламбэр

Салбар хоорондын холбоо нь дидактик нөхцөл бөгөөд сургуулийн шинжлэх ухааны үндсийг гүн гүнзгий, цогцоор нь шингээх хэрэгсэл юм.
Нэмж дурдахад тэд оюутнуудын мэдлэгийн шинжлэх ухааны түвшинг дээшлүүлэх, логик сэтгэлгээ, бүтээлч чадварыг хөгжүүлэхэд хувь нэмэр оруулдаг. Салбар хоорондын уялдаа холбоог хэрэгжүүлэх нь материалыг судлахад давхардлыг арилгаж, цаг хугацаа хэмнэж, оюутнуудын ерөнхий боловсролын ур чадвар, чадварыг хөгжүүлэх таатай нөхцлийг бүрдүүлдэг.
Физикийн хичээл дээр салбар хоорондын холбоог бий болгох нь боловсролын политехникийн болон практик чиг баримжаа олгох үр нөлөөг нэмэгдүүлдэг.
Математикийн хичээл заахад сэдэл маш чухал. Математикийн асуудлыг сурагчдын нүдэн дээр гарч ирсэн мэт физикийн үзэгдэл, техникийн асуудлыг авч үзсэний дараа томъёолсон тохиолдолд илүү сайн ойлгодог.
Багш математикийн хөгжилд дадлага хийх үүрэг, физикийн шинжлэх ухаан, технологийн хөгжилд математикийн ач холбогдлын талаар хэчнээн ярьсан ч физик нь математикийн хөгжилд хэрхэн нөлөөлж, математик хэрхэн тусалдаг болохыг харуулахгүй бол асуудлыг шийдвэрлэх дадлага хийвэл материалист ертөнцийг үзэх үзлийн хөгжилд хохирол учирна.ноцтой хохирол. Гэхдээ математик нь түүний асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн тусалдаг болохыг харуулахын тулд арга зүйн зорилгоор зохион бүтээгээгүй боловч хүний ​​​​практик үйл ажиллагааны янз бүрийн салбарт бодитойгоор гарч ирдэг даалгавар хэрэгтэй.

Түүхэн мэдээлэл

Дифференциал тооцоог Ньютон, Лейбниц нар 17-р зууны төгсгөлд хоёр асуудлын үндсэн дээр бүтээжээ.

• дурын шугамд шүргэгчийг олох тухай;
• дурын хөдөлгөөний хуулийн дагуу хурд хайх тухай.

Бүр өмнө нь деривативын тухай ойлголтыг Италийн математикч Николо Тарталиагийн (ойролцоогоор 1500 - 1557) бүтээлүүдэд тулгарч байсан - энд бууны налуу өнцгийн асуудлыг судлах явцад шүргэгч гарч ирсэн бөгөөд энэ нь хамгийн ихийг баталгаажуулдаг. сумны тусгал.

17-р зуунд Г.Галилейгийн хөдөлгөөний онолын үндсэн дээр деривативын кинематик ойлголт идэвхтэй хөгжиж байв.

Алдарт эрдэмтэн Галилео Галилей математикт деривативын гүйцэтгэх үүргийн талаар бүхэл бүтэн зохиолоо зориулжээ. Декарт, Францын математикч Роберваль, Английн эрдэмтэн Л.Грегори нарын бүтээлүүдээс янз бүрийн илтгэлүүд олдож эхлэв. Дифференциал тооцоог судлахад Лопитал, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс ихээхэн хувь нэмэр оруулсан.

Физик дэх деривативын зарим хэрэглээ

Дериватив- дифференциал тооцооллын үндсэн ойлголт, шинж чанар функцийн өөрчлөлтийн хурд.

ШийдвэрлэсэнХэрэв ийм хязгаар байгаа бол аргументийн өсөлт тэг рүү чиглэдэг тул функцын өсөлтийг түүний аргументийн өсөлтөд харьцуулсан харьцааны хязгаар.

Энэ замаар,

Тиймээс функцийн деривативыг тооцоолох f(x)цэг дээр x0Тодорхойлолтоор танд хэрэгтэй:

Энэ схемийг ашиглах хэд хэдэн физик асуудлыг авч үзье.

Агшин зуурын хурдны асуудал. Деривативын механик утга

Хөдөлгөөний хурд хэрхэн тодорхойлогдсоныг санаарай. Материалын цэг нь координатын шугамын дагуу хөдөлдөг. Энэ цэгийн х-координат нь мэдэгдэж буй функц юм x(t)цаг т.-аас тодорхой хугацаанд t0өмнө t0+ хөдөлж буй цэг нь тэнцүү байна x(t 0 +) – x(t0) -ба түүний дундаж хурд нь: .
Ихэвчлэн хөдөлгөөний мөн чанар нь жижиг үед дундаж хурд бараг өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна, өөрөөр хэлбэл. өндөр нарийвчлалтай хөдөлгөөнийг жигд гэж үзэж болно. Өөрөөр хэлбэл, дундаж хурдны утга нь тодорхой тодорхойлогдсон утга руу чиглэдэг бөгөөд үүнийг агшин зуурын хурд гэж нэрлэдэг. v(t0)тухайн үеийн материаллаг цэг t0.

Тэгэхээр,

Гэхдээ тодорхойлолтоор
Тиймээс нэг удаад агшин зуурын хурдыг анхаарч үзээрэй t0

Үүнтэй адил маргаж, бид хурдны цаг хугацааны дериватив нь хурдатгал, өөрөөр хэлбэл.

Биеийн дулааны багтаамжийн асуудал

1 г жинтэй биеийн температур 0 хэмээс өсөхийн тулд тградусын хувьд бие нь тодорхой хэмжээний дулааныг дамжуулах шаардлагатай байдаг Q. гэсэн үг, Qтемпературын функц байдаг т, биеийг халаадаг: Q = Q(t). Биеийн температурыг дээшлүүлээрэй t0өмнө т.Энэ халаалтанд зарцуулсан дулааны хэмжээ нь тэнцүү байна Харьцаа нь температур өөрчлөгдөхөд биеийг 1 градусаар халаахад дунджаар шаардагдах дулааны хэмжээ юм. градус. Энэ харьцааг тухайн биеийн дундаж дулаан багтаамж гэж нэрлээд тэмдэглэнэ Лхагва гарагаас.
Учир нь Дундаж дулаан багтаамж нь T температурын ямар ч утгын дулааны багтаамжийн талаархи ойлголтыг өгдөггүй тул тухайн температурт дулааны багтаамжийн тухай ойлголтыг нэвтрүүлсэн. t0(энэ үед t0).
Температур дахь дулааны багтаамж t0(өгөгдсөн цэг дээр) хязгаар гэж нэрлэдэг

Савааны шугаман нягтын асуудал

Нэг төрлийн бус савааг авч үзье.

Ийм савааны хувьд түүний уртаас хамааран массын өөрчлөлтийн хурдны тухай асуулт гарч ирдэг.

Дундаж шугаман нягт саваагийн масс нь түүний уртын функц юм X.

Тиймээс өгөгдсөн цэг дэх нэгэн төрлийн бус саваагийн шугаман нягтыг дараах байдлаар тодорхойлно.

Иймэрхүү асуудлыг авч үзвэл олон физик үйл явцын талаар ижил төстэй дүгнэлт гаргаж болно. Тэдгээрийн заримыг хүснэгтэд үзүүлэв.

Чиг үүрэг	Томъёо	Дүгнэлт
m(t) нь зарцуулсан түлшний массын цаг хугацааны хамаарал юм.		Дериватив цаг хугацааны явцад массбайдаг хурдтүлшний хэрэглээ.
T(t) нь халсан биеийн температурын цаг хугацааны хамаарал юм.		Дериватив цаг хугацааны температурбайдаг хурдбиеийн халаалт.
m(t) нь цацраг идэвхт бодисын задралын үеийн массын хамаарал юм.		Дериватив цаг хугацааны явцад цацраг идэвхт бодисын массбайдаг хурдцацраг идэвхт задрал.
q(t) - дамжуулагчаар дамжин урсах цахилгааны хэмжээнээс цаг хугацааны хамаарал		Дериватив цаг хугацааны явцад цахилгаан эрчим хүчний хэмжээбайдаг одоогийн хүч.
A(t) - ажлын цаг хугацааны хамаарал		Дериватив цагтаа ажиллахбайдаг хүч.

Практик даалгавар:

Их буугаар харвасан сум нь x(t) = – 4t 2 + 13t (m) хуулийн дагуу хөдөлдөг. 3 секундын төгсгөлд сумны хурдыг ол.

t \u003d 0 секундын үеэс эхлэн дамжуулагчаар урсах цахилгааны хэмжээг q (t) \u003d 2t 2 + 3t + 1 (хөргөх) томъёогоор тодорхойлно. Тав дахь секундын төгсгөлд одоогийн хүчийг ол. .

1 кг усыг 0 o-оос t o C хүртэл халаахад шаардагдах Q (J) дулааны хэмжээг Q(t) = t + 0.00002t 2 + 0.0000003t 3 томъёогоор тодорхойлно. t = 100 o бол усны дулааны багтаамжийг тооцоол.

Бие нь x(t) = 3 + 2t + t 2 (m) хуулийн дагуу шулуун шугамаар хөдөлдөг. Түүний хурд ба хурдатгалыг 1 секунд ба 3 секундын хугацаанд тодорхойл.

x (t) \u003d t 2 - 4t 4 (m) хуулийн дагуу t \u003d 3 сек-т хөдөлж, m масстай цэг дээр үйлчилж буй F хүчний хэмжээг ол.

Масс нь m = 0.5 кг бие нь x (t) = 2t 2 + t - 3 (m) хуулийн дагуу шулуун замаар хөдөлдөг. Хөдөлгөөн эхэлснээс хойш 7 секундын дараа биеийн кинетик энергийг ол.

Дүгнэлт

Технологиас та өөр олон асуудлыг тодорхойлж болох бөгөөд тэдгээрийг шийдвэрлэхийн тулд холбогдох функцийн өөрчлөлтийн хурдыг олох шаардлагатай.
Жишээлбэл, эргэлдэж буй биеийн өнцгийн хурд, халах үед биетүүдийн шугаман тэлэлтийн коэффициент, тухайн үеийн химийн урвалын хурд зэргийг олох.
Функцийн өөрчлөлтийн хурдыг тооцоолох, өөрөөр хэлбэл функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулах харьцааны хязгаарыг тооцоолоход хүргэдэг олон тооны асуудлуудыг харгалзан үзэхэд сүүлийн үед. тэглэх хандлагатай байгаа тул дурын функцийн хувьд ийм хязгаарыг ялгаж, түүний үндсэн шинж чанарыг судлах шаардлагатай болсон. Энэ хязгаар гэж нэрлэдэг дериватив функц.

Тиймээс, хэд хэдэн жишээн дээр бид янз бүрийн физик процессуудыг математикийн асуудлын тусламжтайгаар хэрхэн дүрсэлж, шийдлийн дүн шинжилгээ нь үйл явцын явцын талаар дүгнэлт, таамаглал гаргах боломжийг хэрхэн олгодог болохыг харуулсан.
Мэдээжийн хэрэг, энэ төрлийн жишээнүүдийн тоо асар их бөгөөд тэдгээрийн нэлээд хэсэг нь сонирхсон оюутнуудад хүртээмжтэй байдаг.

"Хөгжим нь сэтгэлийг дээшлүүлж, тайвшруулж чадна.
Уран зураг нь нүдэнд тааламжтай,
Яруу найраг - мэдрэмжийг сэрээх,
Философи - оюун санааны хэрэгцээг хангах,
Инженерчлэл - материаллаг талыг сайжруулах хүмүүсийн амьдрал,
Мөн математик эдгээр бүх зорилгод хүрч чадна."

Америкийн математикч ингэж хэлэв Морис Клайн.

Ном зүй :

1. Абрамов А.Н., Виленкин Н.Я.болон бусад математикийн сонгосон асуултууд. 10-р анги. - М: Гэгээрэл, 1980 он.
2. Виленкин Н.Я., Шибасов А.П.Математикийн сурах бичгийн хуудасны ард. - М: Гэгээрэл, 1996 он.
3. Доброхотова М.А., Сафонов А.Н.. Функц, түүний хязгаар ба дериватив. - М: Гэгээрэл, 1969 он.
4. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М.Алгебр ба математик анализын эхлэл. - М: Гэгээрэл, 2010 он.
5. Колосов А.А.Математикийн хичээлээс гадуур унших ном. - М: Учпэдгиз, 1963 он.
6. Фихтэнголц Г.М.Математик анализын үндэс, 1-р хэсэг - М: Наука, 1955.
7. Яковлев Г.Н.Техникийн сургуулиудад зориулсан математик. Алгебр ба анализын эхлэл, 1-р хэсэг - М: Наука, 1987.

Деривативын физик утга. Математикийн USE нь үүсмэл үгийн физик утгын талаархи мэдлэг, ойлголтыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүлгийн даалгавруудыг агуулдаг. Ялангуяа тодорхой цэгийн (объект) хөдөлгөөний хуулийг тэгшитгэлээр илэрхийлж, хөдөлгөөний тодорхой агшинд, эсвэл объект олж авах хугацааны дараа түүний хурдыг олох шаардлагатай даалгавар байдаг. тодорхой өгөгдсөн хурд.Даалгаврууд нь маш энгийн бөгөөд нэг алхамаар шийдэгддэг. Тэгэхээр:

Материаллаг цэгийн х (t) координатын тэнхлэгийн дагуух хөдөлгөөний хуулийг өгье, энд x нь хөдөлж буй цэгийн координат, t нь цаг хугацаа.

Цаг хугацааны өгөгдсөн цэг дэх хурд нь цаг хугацааны координатын дериватив юм. Энэ бол деривативын механик утга юм.

Үүний нэгэн адил хурдатгал нь цаг хугацааны хувьд хурдны дериватив юм:

Тиймээс деривативын физик утга нь хурд юм. Энэ нь хөдөлгөөний хурд, үйл явцын өөрчлөлтийн хурд (жишээлбэл, нянгийн өсөлт), ажлын хурд (гэх мэт олон тооны хэрэглээний даалгавар байдаг) байж болно.

Үүнээс гадна та деривативын хүснэгтийг (та үүнийг үржүүлэх хүснэгтээс гадна мэдэх хэрэгтэй) болон ялгах дүрмийг мэдэх хэрэгтэй. Тодруулбал, заасан асуудлыг шийдэхийн тулд эхний зургаан деривативыг мэдэх шаардлагатай (хүснэгтийг үз):

Даалгавруудыг авч үзье:

x (t) \u003d t 2 - 7t - 20

Энд x t нь хөдөлгөөн эхэлснээс хойш секундээр хэмжигдсэн хугацаа юм. Түүний t = 5 секундын хурдыг (секундэд метрээр) ол.

Деривативын физик утга нь хурд (хөдөлгөөний хурд, үйл явцын өөрчлөлтийн хурд, ажлын хурд гэх мэт) юм.

Хурдны өөрчлөлтийн хуулийг олъё: v (t) = x′(t) = 2t – 7 м/с.

t = 5-ын хувьд бид дараах байдалтай байна:

Хариулт: 3

Өөрөө шийднэ үү:

Материалын цэг нь x (t) = 6t 2 - 48t + 17 хуулийн дагуу шулуун шугамаар хөдөлдөг. x- жишиг цэгээс метрээр хэмжигдэх зай; т- хөдөлгөөн эхэлснээс хойш хэмжигдэх хугацаа секундээр. t = 9 секундын хурдыг (секундэд метрээр) ол.

Материалын цэг нь x (t) = 0.5t хуулийн дагуу шулуун шугамаар хөдөлдөг 3 - 3т 2 + 2т, хаана xт- хөдөлгөөн эхэлснээс хойш хэмжигдэх хугацаа секундээр. Түүний t = 6 секундын хурдыг (секундэд метрээр) ол.

Хуулийн дагуу материаллаг цэг шулуун шугамаар хөдөлдөг

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

хаана x- жишиг цэгээс метрээр хэмжигдэх зай;т- хөдөлгөөн эхэлснээс хойш хэмжигдэх хугацаа секундээр. Түүний t = 3 секундын хурдыг (секундэд метрээр) ол.

Хуулийн дагуу материаллаг цэг шулуун шугамаар хөдөлдөг

x (t) = (1/6) t 2 + 5t + 28

Энд x нь жишиг цэгээс метрээр хэмжигдэх зай, t нь хөдөлгөөн эхэлснээс хойш секундээр хэмжигдэх хугацаа юм. Цаг хугацааны хэдэн үед (секундэд) түүний хурд 6 м/с-тэй тэнцсэн бэ?

Хурдны өөрчлөлтийн хуулийг олцгооё.

Хэзээ нэгэн цагт мэдэхийн тулдтхурд нь 3 м / с-тэй тэнцүү байсан тул тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шаардлагатай:

Хариулт: 3

Өөрийнхөө төлөө шийд:

Материаллаг цэг нь x (t) \u003d t 2 - 13t + 23 хуулийн дагуу шулуун шугамаар хөдөлдөг. x- жишиг цэгээс метрээр хэмжигдэх зай; т- хөдөлгөөн эхэлснээс хойш хэмжигдэх хугацаа секундээр. Цаг хугацааны хэдэн үед (секундэд) түүний хурд 3 м/с-тэй тэнцсэн бэ?

Хуулийн дагуу материаллаг цэг шулуун шугамаар хөдөлдөг

x (t) \u003d (1/3) t 3 - 3т 2 - 5т + 3

хаана x- жишиг цэгээс метрээр хэмжигдэх зай; т- хөдөлгөөн эхэлснээс хойш хэмжигдэх хугацаа секундээр. Цаг хугацааны хэдэн үед (секундэд) түүний хурд 2 м/с-тэй тэнцсэн бэ?

Шалгалтанд зөвхөн энэ төрлийн даалгаварт анхаарлаа хандуулах нь үнэ цэнэтэй зүйл биш гэдгийг би тэмдэглэж байна. Тэд санаанд оромгүй байдлаар даалгавруудыг танилцуулж байснаас урвуу байдлаар танилцуулж чадна. Хурдны өөрчлөлтийн хууль өгөхөд хөдөлгөөний хуулийг олох асуудал гарна.

Зөвлөмж: энэ тохиолдолд та хурдны функцийн интегралыг олох хэрэгтэй (эдгээр нь бас нэг үйлдэлд хийх даалгавар юм). Хэрэв та тодорхой хугацааны туршид туулсан зайг олох шаардлагатай бол үүссэн тэгшитгэлд цагийг орлуулж, зайг тооцоолох хэрэгтэй. Гэсэн хэдий ч бид ийм даалгаварт дүн шинжилгээ хийх болно, бүү алдаарай!Чамд амжилт хүсье!

Хүндэтгэсэн, Александр Крутицких.

P.S: Хэрэв та сайтын талаар олон нийтийн сүлжээгээр хэлвэл би талархах болно.

Деривативын физик хэрэглээнд шилжихэд бид физикт хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээнээс арай өөр тэмдэглэгээг ашиглах болно.

Нэгдүгээрт, функцүүдийн тэмдэглэгээ өөрчлөгдөнө. Үнэхээр бид ямар функцийг ялгах гэж байна вэ? Эдгээр функцууд нь цаг хугацаанаас хамаардаг физик хэмжигдэхүүнүүд юм. Жишээлбэл, биеийн x(t) координат ба хурд v(t)-ийг дараах томъёогоор өгч болно.

Математик болон физикийн аль алинд нь түгээмэл байдаг деривативын өөр нэг тэмдэглэгээ байдаг:

(энэ нь de te¿ гэхэд ¾de x гэж уншина).

Тэмдэглэгээний утгын талаар илүү дэлгэрэнгүй авч үзье (29). Математикч үүнийг хоёр янзаар, эсвэл хязгаар гэж ойлгодог.

эсвэл бутархайгаар хуваагч нь цаг хугацааны өсөлт dt, тоологч нь x(t) функцийн дифференциал dx гэж нэрлэгддэг. Дифференциалын тухай ойлголт нь хэцүү биш боловч бид одоо үүнийг хэлэлцэхгүй; Энэ нь таныг эхний курст хүлээж байна.

Математикийн хатуу шаардлагаар хязгаарлагдахгүй физикч (29) тэмдэглэгээг илүү албан бусаар ойлгодог. dt цаг хугацааны координатын өөрчлөлтийг dx гэж үзье. dx=dt харьцаа нь хязгаартаа (30 ) дөхөж байхаар dt интервалыг бидэнд тохирсон нарийвчлалтайгаар авч үзье.

Дараа нь физикч хэлэхдээ, координатын цаг хугацааны дериватив нь зүгээр л бутархай бөгөөд түүний тоологч нь координат dx хангалттай бага өөрчлөлттэй, харин хуваарьт нь хангалттай бага хугацаатай байдаг. dt, энэ үед координатын энэ өөрчлөлт гарсан. Деривативын тухай ийм сул ойлголт нь физикийн үндэслэлийн хувьд ердийн зүйл юм. Цаашилбал, бид энэ бие махбодийн хатуу чанга байдлыг дагаж мөрдөх болно.

Анхны жишээ рүү (26 ) буцаж очоод координатын деривативыг тооцоолж, (28 ) ба (29 ) тэмдэглэгээний хамтарсан хэрэглээг харцгаая:

x(t) = 1 + 12t 3t2 ) x(t) =dt d (1 + 12t 3t2 ) = 12 6т:

(Хаалтны өмнөх dt d гэсэн гарал үүслийн тэмдэг нь хуучин тэмдэглэгээний хаалтны дээрх зураастай ижил байна.)

Координатын тооцоолсон дериватив нь биеийн хурдтай тэнцүү болохыг анхаарна уу (27). Энэ нь санамсаргүй тохиолдол биш бөгөөд бид үүнийг илүү нарийвчлан хэлэлцэх хэрэгтэй.

2.1 Дериватив координат

Юуны өмнө бид (27 ) дахь хурд нь эерэг ба сөрөг аль аль нь байж болохыг тэмдэглэж байна. Тухайлбал, хурд нь t-ийн хувьд эерэг байна< 2, обращается в нуль при t = 2 и становится отрицательной при t > 2.

Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Энэ нь маш энгийн: бид хурдны үнэмлэхүй утгыг биш харин X тэнхлэг дээрх хурдны векторын vx проекцийг авч үзэж байна.Иймд (27)-ын оронд дараахь зүйлийг бичих нь илүү зөв байх болно.

Хэрэв та векторын тэнхлэг дээрх проекц гэж юу болохыг мартсан бол нийтлэлийн холбогдох хэсгийг уншина уу ¾ Физик дэх векторууд¿. Энд бид зөвхөн vx проекцийн тэмдэг нь хурдны чиглэл ба X тэнхлэгийн чиглэлийн хоорондын хамаарлыг тусгасан гэдгийг л санаж байна.

vx > 0 , бие нь X тэнхлэгийн чиглэлд хөдөлдөг; vx< 0 , тело движется против оси X.

(Жишээ нь, vx = 3 м/с бол бие нь X тэнхлэгийн эсрэг чиглэлд 3 м/с хурдтай хөдөлж байна гэсэн үг.)

Тиймээс, бидний жишээн дээр (31 ) бид дараах хөдөлгөөний дүр төрхтэй байна: at t< 2 тело движется в положительном направлении оси X и постепенно замедляется; при t = 0 тело останавливается; при t >2 бие нь хурдасч, х тэнхлэгийн сөрөг чиглэлд хөдөлдөг.

Биеийн үнэмлэхүй утгын хурдыг v-тэй тэнцүү гэж үзье. Хөдөлгөөний чиглэлийн хоёр тохиолдол байдаг.

1. Хэрэв бие нь X тэнхлэгийн эерэг чиглэлд хөдөлдөг бол dx координатын бага зэрэг өөрчлөлт эерэг бөгөөд биеийн dt хугацаанд туулсан замтай тэнцүү байна. Тийм ч учраас

x = dx dt = v:

2. Хэрэв бие нь х тэнхлэгийн сөрөг чиглэлд хөдөлдөг бол dx< 0. Путь за время dt равен dx, поэтому dx=dt = v или

x = dx dt = v:

Эхний тохиолдолд vx = v, хоёр дахь тохиолдолд vx = v гэдгийг анхаарна уу. Тиймээс хоёр тохиолдлыг нэг томъёонд нэгтгэсэн болно:

Тэгээд бид хамгийн чухал баримтанд хүрнэ: биеийн координатын дериватив нь тухайн тэнхлэг дээрх биеийн хурдны проекцтой тэнцүү байна.

Өсөх (багарах) функц ажиллаж байгааг харахад хялбар байдаг. Тухайлбал:

x > 0) vx > 0) бие нь X тэнхлэгийн чиглэлд хөдөлдөг) х-координат нэмэгддэг; x< 0) vx < 0) тело двигается против оси X) координата x уменьшается:

2.2 Хурдасгах

Биеийн хурд нь түүний координатын өөрчлөлтийн хурдыг тодорхойлдог. Гэхдээ хурд нь удаан эсвэл хурдан өөрчлөгдөж болно. Хурдны өөрчлөлтийн хурдны шинж чанар нь хурдатгал гэж нэрлэгддэг физик хэмжигдэхүүн юм.

Жишээлбэл, жигд хурдатгалын үед машины хурд v0 = 2 м/с-аас v = 14 м/с болтол t = 3 сек хүртэл нэмэгдэнэ. Машины хурдатгалыг дараахь томъёогоор тооцоолно.

Ийнхүү нэг секундэд машины хурд 4 м/с-ээр нэмэгддэг.

Хэрэв хурд нь эсрэгээрээ t = 3 секундын дотор v0 = 14 м/с-аас v = 2 м/с болж буурсан бол хурдатгал ямар байх вэ? Дараа нь (33) томъёоны дагуу бид дараахь зүйлийг авна.

Нэг секундын дотор бидний харж байгаагаар хурд 4 м / с-ээр буурч байна.

Хэрэв хурд жигд бус хэлбэлзвэл хурдатгалын тухай ярих боломжтой юу? Мэдээжийн хэрэг, энэ нь боломжтой, гэхдээ зөвхөн энэ нь агшин зуурын хурдатгал байх болно, энэ нь бас цаг хугацаанаас хамаарна. Бодлогын схемийг та аль хэдийн сайн мэддэг болсон: (33) томъёонд бид t хугацааны интервалын оронд dt жижиг интервалыг, v v0 ялгааны оронд dt хугацааны хурдны dv өсөлтийг авна. үр дүнд бид:

Тиймээс хурдатгал нь хурдны дериватив болох нь харагдаж байна.

Гэхдээ (34) томъёо нь механикт үүссэн бүх нөхцөл байдлыг тайлбарлаагүй болно. Жишээлбэл, тойрог дагуу жигд хөдөлж байх үед биеийн хурд үнэмлэхүй утгаараа өөрчлөгддөггүй бөгөөд (34) -ийн дагуу бид a = v = 0-ийг авах ёстой байсан. Гэхдээ бие нь хурдатгалтай гэдгийг та маш сайн мэднэ. энэ нь тойргийн төв рүү чиглэсэн бөгөөд төв рүү чиглэсэн гэж нэрлэдэг. Тиймээс (34) томъёонд зарим өөрчлөлт хэрэгтэй.

Энэхүү өөрчлөлт нь хурдатгал нь үнэндээ вектор байдагтай холбоотой юм. Энэ нь хурдатгалын вектор нь биеийн хурд өөрчлөгдөх чиглэлийг харуулж байна. Энэ нь юу гэсэн үг вэ, бид одоо энгийн жишээгээр олж мэдэх болно.

Биеийг X тэнхлэгийн дагуу хөдөлгөж хурдатгалын чиглэлийн хоёр тохиолдлыг авч үзье: X тэнхлэгийн дагуу болон X тэнхлэгийн эсрэг.

1. Хурдатгалын вектор ~a нь X тэнхлэгтэй хамт чиглэгддэг (Зураг 1).арван найман). X тэнхлэг дээрх хурдатгалын төсөөлөл эерэг байна: ax > 0.

Цагаан будаа. 18. сүх > 0

AT Энэ тохиолдолд хурд нь X тэнхлэгийн эерэг чиглэлд өөрчлөгдөнө. Тухайлбал:

Хэрэв бие баруун тийш (vx > 0) хөдөлдөг бол энэ нь хурдасдаг: биеийн модулийн хурд нэмэгддэг. Энэ тохиолдолд хурдны төсөөлөл vx мөн нэмэгдэнэ.

Хэрэв бие зүүн тийш хөдөлвөл (vx< 0), то оно тормозит: скорость тела по модулю уменьшается. Но обратите внимание, что проекция скорости vx , будучи отрицательной, при этом увеличивается.

Иймд ax > 0 бол vx хурдны проекц нь эсэхээс үл хамааран нэмэгдэнэ

бие аль чиглэлд хөдөлж байна.

2. Хурдатгалын вектор ~a нь X тэнхлэгийн эсрэг чиглэсэн байна (Зураг 1). 19). X тэнхлэг дээрх хурдатгалын төсөөлөл сөрөг байна: сүх< 0.

Цагаан будаа. 19.ax< 0

AT Энэ тохиолдолд хурд нь X тэнхлэгийн сөрөг чиглэлд өөрчлөгдөнө. Тухайлбал:

Хэрэв бие баруун тийш хөдөлвөл (vx > 0), дараа нь удааширна: биеийн модулийн хурд буурна. Энэ тохиолдолд хурдны төсөөлөл vx мөн буурна.

Хэрэв бие зүүн тийш хөдөлвөл (vx< 0), то оно разгоняется: скорость тела по модулю увеличивается. Но проекция скорости vx , будучи отрицательной, при этом уменьшается.

Тэгэхээр хэрэв сүх< 0, то проекция скорости vx убывает, и опять-таки вне зависимости от того, в каком направлении движется тело.

Эдгээр жишээнүүдээс олдсон хурдатгалын проекцийн сүхний тэмдэг ба хурдны төсөөллийн vx-ийн өсөлт (бууралт) хоорондын хамаарал нь (34) томъёог хүссэн өөрчлөлтөд хүргэж байна:

Жишээ. Жишээ рүү буцъя (26):

x = 1 + 12т 3t2

(координатыг метрээр, хугацааг секундээр хэмждэг). Хоёр удаа дараалан ялгахдаа бид дараахь зүйлийг олж авна.

vx=x=126t;

ax=vx=6:

Таны харж байгаагаар хурдатгал нь тогтмол модуль бөгөөд 6 м/с2-тэй тэнцүү байна. X тэнхлэгийн эсрэг чиглэлд чиглэсэн хурдатгал.

Дээрх жишээ бол хурдатгалын модуль ба чиглэл өөрчлөгдөөгүй (эсвэл товчоор хэлбэл ~a = const) жигд хурдассан хөдөлгөөний тохиолдол юм. Механик дахь хамгийн чухал бөгөөд байнга тулгардаг хөдөлгөөний хэлбэрүүдийн нэг бол жигд хурдасгасан хөдөлгөөн юм.

Энэ жишээнээс харахад жигд хурдасгасан хөдөлгөөний үед хурдны проекц нь цаг хугацааны шугаман функц, координат нь квадрат функц болохыг ойлгоход хялбар юм.

Жишээ. Илүү чамин тохиолдлыг авч үзье:

x = 2 + 3t 4t2 + 5t3.

Өнөөг хүртэл бид дериватив гэдэг ойлголтыг функцийн графикийн геометрийн дүрслэлтэй холбон тайлбарлаж ирсэн. Гэсэн хэдий ч үүсмэл ойлголтын үүргийг зөвхөн өгөгдсөн муруйн шүргэгчийн налууг тодорхойлох асуудалд хязгаарлах нь бүдүүлэг алдаа болно. Шинжлэх ухааны үүднээс илүү чухал ажил бол аливаа хэмжигдэхүүний өөрчлөлтийн хурдыг тооцоолох явдал юм f(t), цаг хугацааны явцад өөрчлөгдөх t. Яг энэ талаас нь Ньютон дифференциал тооцоонд хандсан. Ялангуяа, Ньютон хурдны үзэгдлийг шинжлэхийг эрэлхийлж, хөдөлгөөнт бөөмийн цаг хугацаа, байрлалыг хувьсагч (Ньютоны хэлснээр "флюент") гэж үзжээ. Тодорхой бөөмс x тэнхлэгийн дагуу хөдөлж байвал функц өгөгдсөн тул түүний хөдөлгөөн бүрэн тодорхойлогдоно x = f(t), t ямар ч үед х бөөмийн байрлалыг заана. X тэнхлэгт тогтмол b хурдтай "нэг жигд хөдөлгөөн" -ийг шугаман функцээр тодорхойлно x = a + bt, энд a нь анхны момент дэх бөөмийн байрлал (нь t = 0).

Хавтгай дээрх бөөмийн хөдөлгөөнийг аль хэдийн хоёр функцээр дүрсэлсэн байдаг

x = f(t), y = g(t),

түүний координатыг цаг хугацааны функц болгон тодорхойлдог. Ялангуяа хоёр шугаман функц нь жигд хөдөлгөөнд нийцдэг

x = a + bt, y = c + dt,

Энд b ба d нь тогтмол хурдны хоёр "бүрэлдэхүүн" бөгөөд a ба c нь бөөмийн анхны байрлалын координатууд юм. t = 0); бөөмийн траектори нь шулуун шугам бөгөөд тэгшитгэл нь

(x - a) d - (y - c) b = 0

Дээрх хоёр хамаарлаас t-г хассанаар гарна.

Хэрэв бөөмс зөвхөн таталцлын нөлөөгөөр босоо хавтгайд х, у хөдөлдөг бол түүний хөдөлгөөн (энэ нь анхан шатны физикт батлагдсан) хоёр тэгшитгэлээр тодорхойлогддог.

хаана a B C Dбөөмийн анхны агшин дахь төлөвөөс хамаарах тогтмолууд ба g нь таталцлын хурдатгал ба цагийг секундээр, зайг метрээр хэмжвэл ойролцоогоор 9.81 байна. Энэ хоёр тэгшитгэлээс t-г хассанаар олж авсан хөдөлгөөний траектор нь парабол болно

Хэрэв зөвхөн b≠0; өөрөөр хэлбэл, зам нь босоо тэнхлэгийн сегмент юм.

Хэрэв бөөмс өгөгдсөн муруй дагуу хөдөлж байвал (галт тэрэг төмөр замын дагуу хөдөлдөг шиг) түүний хөдөлгөөнийг тооцоолсон нумын урттай тэнцүү s (t) (t хугацааны функц) функцээр тодорхойлж болно. өгөгдсөн муруйн дагуу Р 0 анхны цэгээс t цаг хугацааны P цэг дэх бөөмийн байрлал хүртэл. Жишээлбэл, хэрэв бид нэгж тойргийн тухай ярьж байгаа бол x 2 + y 2 = 1, дараа нь функц s = ctЭнэ тойрог дээр хурдтай жигд эргэлтийн хөдөлгөөнийг тодорхойлно -тай.

* Дасгал. Тэгшитгэлээр өгөгдсөн хавтгай хөдөлгөөний траекторийг зур. 1) x \u003d sin t, y \u003d cos t; 2) x = sin 2t, y = cos 3t; 3) x \u003d гэм 2т, у \u003d 2 гэм 3т; 4) дээр дурдсан параболик хөдөлгөөнд бөөмийн анхны байрлалыг (t = 0 үед) координатын эхэнд авч үзье. b>0, d>0. Замын хамгийн өндөр цэгийн координатыг ол. Х тэнхлэгтэй траекторийн хоёр дахь огтлолцолд тохирох t хугацаа ба утгыг ол.

Ньютоны анхны зорилго нь жигд бус хөдөлж буй бөөмийн хурдыг олох явдал байв. Энгийн болгох үүднээс функцээр өгөгдсөн шулуун шугамын дагуу бөөмийн хөдөлгөөнийг авч үзье x = f(t). Хэрэв хөдөлгөөн жигд, өөрөөр хэлбэл тогтмол хурдтай байсан бол энэ хурдыг t ба t 1 цаг хугацааны хоёр момент, бөөмсийн харгалзах байрлалыг авах замаар олж болно. f(t)болон f(t1)мөн харилцаа үүсгэх

Жишээлбэл, хэрэв t нь цагаар, х нь километрээр хэмжигддэг бол t 1 - t \u003d 1ялгаа x 1 - x 1 цагт туулсан километрийн тоо байх ба v- хурд (цагт км-ээр). Хурд нь тогтмол утга гэж хэлэхэд тэд зөвхөн ялгааны харьцаа гэсэн үг юм

t ба t 1 утгын хувьд өөрчлөгдөхгүй. Харин хөдөлгөөн тэгш бус байвал (жишээлбэл, бие чөлөөтэй уналтанд байх үед, унах тусам хурд нь нэмэгддэг) хамаарал (3) нь t агшин дахь хурдны утгыг өгөхгүй. , гэхдээ t-ээс t 1 хүртэлх хугацааны интервал дахь дундаж хурдыг түгээмэл гэж нэрлэдэг зүйлийг илэрхийлнэ. Хурд авахын тулд үед т, та хязгаарыг тооцоолох хэрэгтэй дундаж хурд t 1 нь t руу чиглэдэг тул. Тиймээс Ньютоныг дагаж бид хурдыг дараах байдлаар тодорхойлно.

Өөрөөр хэлбэл хурд гэдэг нь туулсан замын (шулуун шугам дээрх бөөмийн координат) цаг хугацаатай холбоотой дериватив буюу замын цаг хугацааны хувьд "агшин зуурын өөрчлөлтийн хурд"-аас ялгаатай юм. дунд(3) томъёогоор тодорхойлсон өөрчлөлтийн хурд.

Хурдны өөрчлөлтийн хурд нь өөрөөдуудсан хурдатгал.Хурдасгах нь зөвхөн деривативын дериватив юм; Энэ нь ихэвчлэн f "(t) тэмдгээр тэмдэглэгдсэн бөгөөд үүнийг дууддаг хоёр дахь дериватив f(t) функцээс.

Бидний сая дагаж мөрдсөн процедур математикт маш түгээмэл тул ε ба x хэмжигдэхүүнүүдэд зориулсан тусгай тэмдэглэгээг зохион бүтээсэн: ε-г ∆t, х-г ∆s-ээр тэмдэглэв. ∆t-ийн утга нь "t-д бага хэмжээний нэмэгдлүүд" гэсэн утгатай бөгөөд энэ нэмэлтийг бага хийж болно гэж ойлгож байна. sin θ нь s i n 0 гэсэн үг биштэй адил ∆ тэмдэг нь ямар нэг утгаар үржүүлэх гэсэн үг биш юм. Энэ бол цаг хугацааны нэмэлт зүйл бөгөөд ∆ тэмдэг нь түүний онцгой шинж чанарыг бидэнд сануулдаг. За, хэрэв ∆ хүчин зүйл биш бол ∆s/∆t-тай харьцуулан багасгаж болохгүй. Энэ нь sin θ/sin 2θ илэрхийлэлд байгаа бүх үсгийг таслаад 1/2 авахтай адил юм. Эдгээр шинэ тэмдэглэгээнд хурд нь ∆s/∆t харьцааны хязгаартай тэнцүү байна, учир нь ∆t нь тэг рүү чиглэдэг, өөрөөр хэлбэл.

Энэ нь үндсэндээ томъёо (8.3) боловч одоо энд бүх зүйл өөрчлөгдөж байгаа нь илүү тодорхой болж, үүнээс гадна яг ямар хэмжигдэхүүн өөрчлөгдөхийг танд сануулж байна.
Сайн үнэн зөв баримталдаг өөр нэг хууль бий. Үүнд: зайны өөрчлөлт нь хурдыг энэ өөрчлөлт гарсан хугацааны интервалаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл ∆s = υ∆t. Энэ дүрэм нь зөвхөн ∆t интервалын үед хурд өөрчлөгдөөгүй тохиолдолд хатуу хүчинтэй бөгөөд энэ нь ерөнхийдөө ∆t хангалттай бага байх үед л тохиолддог. Ийм тохиолдолд ихэвчлэн ds = υdt гэж бичдэг ба энд dt нь ∆t хугацааны интервалыг дур мэдэн бага байх тохиолдолд хэлнэ. Хэрэв ∆t интервал хангалттай том бол энэ хугацаанд хурд өөрчлөгдөж болох ба ∆s = υ∆t илэрхийлэл аль хэдийн ойролцоо байх болно. Гэсэн хэдий ч хэрэв бид dt гэж бичвэл энэ нь хугацааны интервал нь хязгааргүй бага байна гэсэн үг бөгөөд энэ утгаараа ds = υdt илэрхийлэл яг тодорхой байна. Шинэ тэмдэглэгээнд (8.5) илэрхийлэл нь хэлбэртэй байна

ds/dt хэмжигдэхүүнийг "t-тэй харьцах s-ийн дериватив" гэж нэрлэдэг (ийм нэр нь өөрчлөгдөж буй зүйлийг санагдуулдаг), деривативыг олох нарийн төвөгтэй процессыг мөн нэрлэдэг; ялгах. Хэрэв ds ба dt нь ds/dt харьцаагаар биш тусад нь гарч байвал тэдгээрийг дифференциал гэнэ. Шинэ нэр томьёотой илүү сайн танилцахын тулд өмнөх догол мөрөнд бид 5t 2 функцын дериватив буюу зүгээр л 5t 2-ын деривативыг олсон гэж хэлэх болно. Энэ нь 10т-тай тэнцэх болсон. Та шинэ үгэнд дасах тусам бодол нь танд илүү тодорхой болно. Дадлага хийхийн тулд илүү төвөгтэй функцийн деривативыг олъё. Нэг цэгийн хөдөлгөөнийг дүрсэлж болох s = At ​​3 + Bt + C илэрхийллийг авч үзье. A, B, C үсэг, түүнчлэн ердийн квадрат тэгшитгэлийн хувьд тогтмол тоог илэрхийлдэг. Бид энэ томьёогоор тодорхойлсон хөдөлгөөний хурдыг t ямар ч үед олох хэрэгтэй. Үүний тулд t + ∆t моментийг авч үзээд s дээр хэдэн ∆s нэмэхийг нэмээд ∆s-ийг ∆t-ээр хэрхэн илэрхийлэхийг ол. Учир нь

Гэхдээ бидэнд ∆s-ийн утга хэрэггүй, харин ∆s/∆t харьцаа хэрэгтэй. ∆t-д хуваасны дараа илэрхийлэл гарч ирнэ

Энэ нь ∆t тэг рүү чиглэсний дараа болж хувирна

Энэ нь дериватив буюу функцийг ялгах үйл явц юм. Үнэн хэрэгтээ энэ нь анх харахад тийм ч хялбар биш юм. Хэрэв өмнөх шиг өргөтгөлүүдэд (∆t) 2 эсвэл (∆t) 3 эсвэл түүнээс дээш зэрэгтэй пропорциональ нөхцөл байгаа бол тэдгээрийг нэн даруй устгаж болно, учир нь эцэст нь бид ∆t байх үед тэдгээр нь алга болно. тэг рүү чиглэдэг. Бага зэрэг бэлтгэл хийсний дараа та юу үлдээх, юуг нэн даруй хаях хэрэгтэйг шууд харах болно. Ялгах олон дүрэм, томъёо байдаг төрөл бүрийнфункцууд. Та тэдгээрийг цээжлэх эсвэл тусгай хүснэгтүүдийг ашиглаж болно. Ийм дүрмийн жижиг жагсаалтыг Хүснэгтэнд үзүүлэв. 8.3.